1、2021-2022学年度第二学期高一数学期中练习一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）1. 若复数满足，则的虚部是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】因为复数满足，所以z=1-3+4i=-2+4i，所以根据复数实部和虚部的概念得z的虚部为4.故选B.2. 在中，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据余弦定理求出,结合求出，最后利用三角形的面积公式即可求解.【详解】由余弦定理得，,所以,所以的面积为.故选：B.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，属于基础题.3. 设向量，且，则（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分
2、析】根据垂直关系，可求出 ；根据的平行关系，可求出 ，进而求出的值【详解】因为，所以因为，所以 所以 ，所以 故选：A4. 已知的三个内角，的对边分别为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理的边角互化可得，再利用余弦定理即可求解.【详解】由，得又，所以，从而因为，所以故选：A5. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）A. B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的倍，即可得到结果【详解】
3、解：是一平面图形的直观图，斜边，直角三角形的直角边长是，直角三角形的面积是，原平面图形的面积是，故选：D6. 已知等边边长为1，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积公式解答，注意向量的夹角与三角形的内角的关系【详解】解：因为三角形是等边三角形，边长为1，各内角为，所以.故选：D【点睛】本题考查了向量的数量积公式的运用；需要注意的是：向量的夹角与三角形内角相等或者互补7. 从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98（单位：分），则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为（ ）A. 92，85
4、B. 92，88C. 95，88D. 96，85【答案】B【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，计算，取第三个数即可得解【详解】本题中数据92出现了3次，出现的次数最多，所以本题的众数是92；将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，得： ，计算，取第三个数，第25百分位数是88故选：B8. 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】连接,根据线面角定义可以判断出是直线A1C与平面ABCD所成角,设出正方体的棱长,利用勾股定理和锐角的
5、三角函数定义可以求出直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值.【详解】连接,由正方体的性质可知：A1A平面ABCD,由线面角的定义可知：是直线A1C与平面ABCD所成角,设正方体的棱长为1,底面是与正方形,故,在中, ,.故选：D【点睛】本题考查了线面角的求法,考查了数学运算能力.9. 已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有 ， ， ， ，A. 0个B. 1个C. 2个D. 3【答案】B【解析】【详解】分析：由线面垂直的几何特征，及线面垂直的第二判定定理，可判断A的真假；根据面面平行的几何特征及线线位置关系的定义，可判断B的真假；根据线面垂直及线线垂直的几何特征，及线
6、面平行的判定方法，可判断C的真假；根据面面平行的判定定理，可以判断D的真假详解：由m，n，m，n，若a，b相交，则可得，若ab，则与可能平行也可能相交，故（1）错误；若mn，n根据线面垂直的第二判定定理可得m，故（2）正确；若，m，n，则mn或m，n异面，故（3）错误；若m，mn，则n或n，故（4）错误；故选B点睛：本题以命题的真假判定为载体考查了空间线面关系的判定，熟练掌握空间线面位置关系的判定，性质及几何特征是解答的关键对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.二、填空题（本大题共6小题，共
7、24.0分）10. 已知复数z满足z(13i)(1i)4，复数z的共轭复数_.【答案】24i.【解析】【分析】根据复数的运算法则化简复数，再根据共轭复数的概念可求得结果.【详解】z1i3i3424i，所以复数z的共轭复数为24i.故答案为：24i11. 已知，且，则与夹角为_.【答案】【解析】【分析】由条件算出，然后可求出答案.【详解】因为，所以，因为，所以所以，因为，所以与夹角为故答案为：12. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5
8、：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生【答案】60【解析】【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.【详解】该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，应从一年级本科生中抽取学生人数为：.故答案为60.13. 如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角为_【答案】#【解析】【分析】利用几何法求解异面直线所成的角，通过做辅助线，将异面直线所成的角转化到同一平面内两直线所成的角进行求解.【详解】如图，连接，由正方体的性质可知，且，故异面直线与所成的角即为与所成的角.在中，均为面对角线，为等边三角形，所以，即为异面直线与所成的角.
9、故答案为：.14. 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为_.【答案】24【解析】【详解】试题分析：设正方体的外接球的半径为,由：，解得：,设该正方体的边长为，根据解得，所以正方体的表面积为：，所以答案为.考点：1.求的体积公式；2.正方体的外接球；3.球的表面积和体积公式.15. 已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，则该正四棱锥的侧面积为_【答案】48【解析】【详解】试题分析：利用正四棱锥的结构特征求解解：已知正四棱锥PABCD中，AB=6，PA=5，取AB中点O，连结PO，则POAB，AO=3，PO=4，该正四棱锥的侧面积：S=4SPAB=4=48故
10、答案为48考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. 当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？（1）复数实数；（2）复数纯虚数；（3）复平面内，复数对应的点位于直线上.【答案】（1）或；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）由虚部为0，求解值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解值；（3）由实部与虚部的和为0，列式求解值【详解】解：由题可知，复数，（1）当为实数时，则虚部为0，由，解得：或；（2）当纯虚数时，实部为0且虚部不为0，由，解得：；（3）当对应的点位于直线上时，则，即：实部与虚部的和为0，由，解得：或【点睛】本题考查复数的基本概念，以及
11、复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题17. 已知向量，（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数的值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据夹角公式计算出夹角的余弦值，从而可求夹角（2）求出的坐标后可求其模长（3）求出的坐标后利用向量垂直的坐标形式可求的值【详解】（1）根据题意，则，设向量与的夹角为，则，又由，故，即向量与的夹角为（2）由于，（3），解得：18. 在中，内角所对的边分别为已知（）求和的值；（）求的值【答案】（），；（）.【解析】【分析】（）由余弦定理求.根据平方关系式求，再根据正弦定理求；（）根据三角形中大边对大角，得为锐角.由（）知，根据平方关系式求，再
12、根据两角和的余弦公式求.【详解】（）中，已知由余弦定理得，又由正弦定理，可得.（）为锐角.由（）知.【点睛】本题考查正余弦定理、同角三角函数基本关系式和两角和的余弦公式，属于基础题.19. 从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩（分）分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）：，.，后，得到如图所示的频率分布直方图.（）求图中实数的值；（）若该校高一年级共有学生600名，试根据以上数据，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数.【答案】（）；（）210.【解析】【分析】（）由等比数列性质及频率分布直方图，列出方程，能求出（）利用频率分布直方图能求出成绩不
13、低于80分的人数【详解】解：（）因为图中所有小矩形的面积之和等于1，所以，解得.（）根据频率分布直方图，成绩不低于80分的频率为.由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题20. 已知多面体中，平面，为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3）【解析】【分析】（1）取CE的中点F，连接OF，BF，易证OABF是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明； （2）由平面，得到，再由 ，利用线面垂直的判定定理证明；（3）易证 平面，得到是直线与平面所成的角求解.【小问1详解】证明：如图所示：取CE的中点F，连接OF，BF，因为，且，且，所以，则OABF是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面；【小问2详解】因为平面，所以，又，所以，又，所以平面；小问3详解】由（1）（2）知：平面，则，又，所以，又所以平面，所以是直线与平面所成的角，因为平面，所以平面，则，所以，所以.