1、第2讲 复数的概念及运算 考纲要求考纲研读1.理解复数的基本概念2理解复数相等的充要条件3了解复数的代数表示法及其几何意义4会进行复数代数形式的四则运算5了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.复数的概念和代数形式的乘除运算是考查的重点(尤其对复数除法的考查频率更高)2以虚数、纯虚数、共轭复数、复数相等、复数的模等概念为载体，求参数的值或取值范围，也是复数问题实数化的具体体现.1复数的有关概念(1)形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a，b 分别是复数的实部和虚部若 b0，则 abi 为实数；若 b0，则 abi 为虚数；若 a0 且 b0，则 abi 为纯虚数(2)复数相等：ab
2、icdiac，bd(a，b，c，dR)(3)abi 的共轭复数为 abi(a，bR)(4)复数 zabi(a，bR)与复平面的点 Z(a，b)一一对应(5)复数 zabi(a，bR)的模|z|a2b2.2复数的运算复数 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，z1z2(ac)(bd)i；z1z2(ac)(bd)i；z1z2(acbd)(bcad)i；z1z2acbdbcadic2d2(c2d20)3常用结论(1i)22i；1i1ii；inin1in2in30(nZ)1(2011 年福建)i 是虚数单位，1i3等于()DAiBiC1iD1iAA13iB33iC3iD32(2011年浙江)若复
3、数z1i，i为虚数单位，则(1z)z()3(2010 年广东)若复数 z11i，z23i，则z1z2()A42iB2iC22iD3A5(2011 年广东广州测试)若复数(1i)(ai)是实数(i 是虚数单位)，则实数 a 的值为()A2B1C1D2位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限4(2011 年广东惠州调研)在复平面内，复数 z 12i对应的点DC考点1 复数的概念A2iC2iB2iD2i例 1：(2011 年江西)若 z12ii，则共轭复数 z()D解析：z12iii2i2i2i212i，z 2i.(2011 年江苏)设复数 i 满足 i(z1)32i(i 是虚数单位)，
4、则 z 的实部是_(2011 年广东广州模拟)复数 zabia，bR 的虚部记作lmz b，则 lm12i()A.13B.25C13D151解析：因为 z132ii3i2i2i223i，所以 z13i.故实部为 1.D处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理.【互动探究】1(2011 年浙江)把复数 z 的共轭复数记作 z，i 为虚数单位若z1i，则(1z)z()A3iB3iC13iD3A考点2 复数的模及几何意义 例 2：(2011 年陕西)设集合 My|y|cos2xsin2x|，xR，Nxx1i 2，i为虚数单位，xR，则 MN
5、为()A(0,1)B(0,1 C0,1)D0,1解析：y|cos2xsin2x|cos 2x|0,1，所以 M0,1因为x1i 2，所以|xi|2，即 x21 2，又因为 xR，所以1x1，即 N(1,1)所以 MN0,1)，故选 C.C(2011 年辽宁)a 为正实数，i 为虚数单位，aii2，则 a()A2 B.3C.2 D1B解析：aii|1ai|1a22，即 a23，a 3.位)对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2011 年安徽合肥一模)在复平面内，复数i3i(i 是虚数单B解析：i3i1 3i4，显然，其对应的点在第二象限复数的模的运算，先将复数化简为 zabi
6、(a，bR)的形式，再利用公式|z|a2b2；复数与复平面的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量的加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题【互动探究】位于()A第一象限C第三象限B第二象限D第四象限2(2011 年广东汕头测试)在复平面内，复数1ii对应的点A考点3 复数的四则运算例3：(2011 年广东)设复数z 满足 iz1，其中 i 为虚数单位，则 z()AiBiC1D1A解析：z1iiiii.AiB1CiD1(2011 年湖北)i 为虚数单位，则1i1i2 011()A解析：因为1i1i1i 21i2 i，所以1
7、i1i2 011i2 011i45023i3i，故选 A.(2011 年湖南)若a，bR，i为虚数单位，且(ai)ibi，则()Aa1，b1Ca1，b1Ba1，b1Da1，b1解析：因为(ai)i1aibi，根据复数相等的条件可知a1，b1.复数的加、减法，形式上与多项式的加、减法类似复数的除法运算，先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子、分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后化简D【互动探究】3(2011 年北京)复数 i212i()Ai BiC4535i D4535iA易错、易混、易漏27对复数虚部的正确理解A1B1CiDi例题：复数 2i31i的虚部为()【失误与防范】复数z
8、abi(a，bR)，虚部为b，而不是bi.正解：2i31ii1i 1i.虚部为1.故选 B.B1在复习过程中，应注意理解和掌握复数的基本概念，特别是虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数的模等2复数代数形式的四则运算是指复数的加、减、乘、除运算，符合多项式的四则运算法则，只是在运算中含有虚数单位 i，尤其是复数的除法运算需要利用共轭复数进行分母实数化1两个复数不全为实数时不能比较大小，只有相等和不相等的关系2复数 abi(a，bR)的虚部是 b 而不是 bi.3对复数进行分类时要先将它整理成 abi(a，bR)的形式，判定一个复数是纯虚数则需满足 a0 且 b0；判定一个复数是实数，仅根据虚部为零是不够的，还要保证实部有意义才行