1、巩固层知识整合提升层题型探究用频率估计概率【例1】为了为奥运会做准备，某射击运动员在相同条件下进行射击训练，结果如下表：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假设该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？解(1)由表可知，击中靶心的频率在0.9附近，故击中靶心的概率大约是0.9.(2)击中靶心的次数大约是3000.9270(次)(3)
2、由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化最后一次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心概率是一个常数，但除了特殊几类概型，概率并不易知，故可以用频率来估计.1对一批U盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.
3、02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(10.02)2 000，因为x是正整数，所以x2 041，即至少需进货2 041个U盘互斥事件与对立事件的概率【例2】某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)抽取1张奖券中奖的概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率解由题意事件A、B、C为互斥事件(1)每1 000
4、张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，P(A)，P(B)，P(C).(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则P(D)P(A)P(B)P(C).(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则P(E)1P(A)P(B)1.求复杂事件的概率通常有两种方法一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)1P(B)求解.2根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率解记
5、A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买(1)由题意得P(A)0.5，P(B)0.3，又CAB，所以P(C)P(AB)P(A)P(B)0.50.30.8.(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)1P(C)10.80.2.古典概型【例3】从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率
6、是多少？解(1)每次取一件，取出后不放回，则连续取两次的所有基本事件共有6个，分别是(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品可以确定这些基本事件的出现是等可能的用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则A包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)因为A中的基本事件的个数为4，所以P(A).(2)有放回地连续取出两件，则所有的基本事件共有9个，分别是(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，
7、a1)，(b，a2)，(b，b)由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则B包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)因为B中的基本事件的个数为4，所以P(B).古典概型求解需注意的问题解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性另外，在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数这就是我们常说的穷举法在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏3甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他
8、们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上甲先抽，乙后抽，各抽一张，抽到的牌不放回(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；反之，则乙胜你认为此游戏是否公平，说明你的理由解(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4表示，红桃2、红桃3、红桃4分别用2,3,4表示)为：(2,3)，(2,4)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共12种情况(2)甲抽到3，乙抽到
9、的牌只能是2或4或4，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙抽到的牌的牌面数字大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4，2)，(4，3)，共5种，所以甲胜的概率为p1，乙胜的概率为p21p1.因为BC.记事件A弦长超过圆内接等边三角形的边长，劣弧CD的弧长是圆周长的，所以由几何概型的概率计算公式得P(A).1过半径为1的圆内一条直径上的任意一点作垂直于该直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率解记事件A弦长超过圆内接等边三角形的边长，如图所示，不妨在过圆内接等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD时等于边长，
10、弦长大于CD的条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得P(A)，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是.2.以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率解记事件A弦长超过圆内接等边三角形的边长，如图所示，作圆内接等边三角形BCD的内切圆，当以内切圆(小圆)上任一点为中点作弦时，弦长等于圆(大圆)内接等边三角形BCD的边长，所以弦长超过圆(大圆)内接等边三角形的边长时，弦的中点在小圆内，易得小圆半径为，所以由几何概型的概率公式得P(A)，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是.几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P(A)求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解.(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题.