1、知识点一 定义域为 I 的函数 f(x)的增减性定义中的 x1，x2 有以下 3 个特征(1)任意性，即“任意取 x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定 x112 Bm12 Dm12解析：使 y(2m1)xb 在 R 上是减函数，则 2m10，即mf(x2)，则 x1，x2 的大小关系为_解析：f(x)在 R 上是增函数，且 f(x1)f(x2)，x1x2.答案：x1x2类型一 利用函数图象求单调区间例 1 已知函数 yf(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为()A(3,1)(1,4)B(5，3)(1,1)C(3，1)，(1,4)D(5，3)，
2、(1,1)【解析】在某个区间上，若函数 yf(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(3，1)，(1,4)【答案】C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间跟踪训练 1 函数 f(x)的图象如图所示，则()A函数 f(x)在1,2上是增函数B函数 f(x)在1,2上是减函数C函数 f(x)在1,4上是减函数D函数 f(x)在2,4上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选 A.答案：A图象上升或下降趋势判断类型二 函数单调性的判定与证明例 2 判断函数 f(x)1
3、x21在区间(1，)上的单调性，并用单调性的定义证明【解析】函数 f(x)1x21在区间(1，)上单调递减证明：任取 x1，x2(1，)，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)1x2111x221x22x21x211x221x2x1x2x1x211x221.x10.x1，x2(1，)，x2x10，x2110，x2110，x2x1x2x1x211x221 0，即 f(x1)f(x2)，由单调性的定义可知函数 f(x)1x21在区间(1，)上单调递减先根据单调性的定义任取 x1，x2(1，)，且 x1x2，再判断 f(x1)f(x2)的符号方法归纳 利用定义证明函数单调性的步骤跟踪训练 2 利用单
4、调性的定义，证明函数 yx2x1在(1，)上是减函数证明：设 x1，x2 是区间(1，)上任意两个实数且 x1x2，则f(x1)f(x2)x12x11x22x21x2x1x11x21，1x10，x110，x210.x2x1x11x210.即 f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)yx2x1在(1，)上是减函数利用四步证明函数的单调性类型三 由函数的单调性求参数的取值范围例 3 已知函数 f(x)x22(a1)x2 在区间(，4上是减函数，求实数 a 的取值范围【解析】f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的减区间是(，1af(x)在(，4上是减函数，对称轴 x1a
5、必须在直线 x4 的右侧或与其重合1a4，解得 a3.故 a 的取值范围为(，3.首先求出 f(x)的单调减区间，求出 f(x)的对称轴为 x1a，利用对称轴应在直线 x4 的右侧或与其重合求解方法归纳 “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指的是函数递减的最大范围为区间 I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义跟踪训练 3 例 3 中，若将“函数在区间(，4上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(，4”，则 a 为何值？解析：由例 3 知函数 f(x)的单调递减区间为(，1a，1a4，a3.求出函数的减区间，用端点值相等求出 a.
