1、2021年高考桂林、崇左市联合调研考试数学（理科） 2021.03考生注意：1本卷满分150分，考试时间120分钟2考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷草稿上作答无效3做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑a一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合，则（ ）A B C D2复数的模为（ ）A1 B C D33某医院医疗攻关
2、小组在一项实验中获得一组关于症状指数y与时间t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，以下回归模型最能拟合y与t之间关系的是（ ）A B C D4我国元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没有壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示如最终输出的，则开始输入的x等于（ ）A B C D5数列满足：将数列的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列，则（ ）A1 B2 C3 D06已知的展开式中含项的系数为4，则实数（ ）A2 B4 C D7已知向量满足，且，则（ ）A B2 C D48将函数的图像向右平移个单位长度后
3、与原函数图像重合，则实数的最小值是（ ）A2 B3 C6 D99过双曲线的一个焦点F做垂直于x轴的直线交C于两点，坐标原点为O，且为等腰直角三角形，则此双曲线的离心率为（ ）A B C2 D10已知四面体中，且，则该四面体的外接球的体积为（ ）A B C D11若，则（ ）A B C D12已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（ ）A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13设实数满足，则的最小值为_14已知等差数列的前n项和为，且，则_15设点P是直线上的动点，过点P引圆的切线（切点为），若的最大值为，则该圆的半径r等于_16已知函数，有下列命题：函数的图像在
4、点处的切线为；函数有3个零点；函数在处取得极大值；函数的图像关于点对称上述命题中，正确命题的序号是_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求做答（一）必考题：共60分17（12分）在新冠后疫情阶段，为拉动汽车售后消费，某汽车美容公司推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第第1次第2次第3次第4次次收费比率10.950.900.850.80该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据
5、如下：消费次数1次2次3次4次5次人数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望18（12分）已知正方体的棱长为2，分别为的中点（1）画出平面截正方体各个面所得的多边形，并说明多边形的形状和作图依据；（2）求二面角的余弦值19（12分）已知中，且（1）求的值；（2）若P是内一点，且，求20.（12分）已知实数，设函数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若对任意的，均有，求a的取值范围2
6、1（12分）已知抛物线的焦点为F，准线为为坐标原点，过F的直线m与抛物线E交于两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线交于点M（1）若直线m的斜率为，求的值；（2）设的中点为N，若四点共圆，求直线m的方程（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为，若极坐标系内异于O的三点，都在曲线M上（1）求证：；（2）若过两点的直线的参数方程为（t为参数），求四边形的面积23选修4-5：不等式选讲（10分）已知实数，满足（1）若，
7、求证：；（2）设，求证：2021年高考桂林、崇左市联合调研考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（每题5分，共60分）题号123456789101112答案ABBCBAACDBCD二、填空题（每题5分，共20分）13 14270 151 16三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应给出文字说眀、证明进程或演算步骤17（本小题满分12分）解：（1）第一次消费为200元，利润为50元 1分第二次消费190元，利润为40元 2分两次消费的平均利润为45元 4分（2）若该会员消费1次，则 5分若该会员消费2次，则 6分若该会员消费3次，则 7分若该会员消费4次，则 8分若该会员消费5次，则 9
8、分故x的分布列为：x5045403530P0.60.20.10.050.05 10分的期望为（元） 12分18（本小题满分12分） 解：（1）截面多边形为如图所示正六边形 2分（说明：做图1分，说明图形1分）做图依据如下：由做图过程知：分别为的中点，即：四点共面同理可证：四点共面，五点共面同理可证：四点共面点J在五点确定的平面内故六点共面 5分（说明：只要能说明六点共面的依据均给分）（2）据题可建立如图所示空间直角坐标系，则， 6分由（1）易知为平面的一个法向量 7分设平面法向量为，则可得令，则平面的一个法向量了 9分 11分平面与平面所成的二面角的余弦值为 12分19（本小题满分12分）解：
9、（1）由，知由，知 1分在中，由余弦定理得： 3分 4分 5分（2） 6分设，则在中，由正弦定理得 8分在中，由正弦定理得： 10分化简可得： 11分故 12分20.（本小题满分12分）解：（1）当时，由，解得 1分当时，故在内单调递增；当时，故在内单调递减 3分函数在取得极小值，无极大值 4分（2）由，则有令，得 5分当时，不等式显然成立， 6分当时，两边取对数，即恒成立令函数，即在内恒成立由，得故当时，单调递增；当时，单调递减因此 9分令函数，其中，则，得，故当时，单调递减；当时，单调递增又，故当时，恒成立，因此恒成立， 11分即当时，对任意的，均有成立 12分21（本小题满分12分）解：
10、（1）设，当时，设，则直线m的斜率为直线m的倾斜角为 1分由抛物线的定义，有，解得： 3分若时，同理可得： 4分或 5分（2）设直线m的方程为，代入，得设，则 6分由，得，所以 8分因为直线m的斜率为，所以直线n的斜率为，则直线n的方程为由解得 9分若四点共圆，再结合，得，则，解得， 11分所以直线m的方程为 12分22（本小题满分10分）（1）由， 2分则； 4分（2）由曲线M的普通方程为：，联立直线的参数方程得：解得；平面直角坐标为： 6分则；又得 8分即四边形面积为 10分23（本小题满分10分）解：（1）， 2分 4分从而 5分（2）假设，则由，知，故 6分又由，得 8分但，知，矛盾 9分故： 10分