1、2023届高考复习微专题解析几何中的数学思想一、函数与方程思想(1)函数思想：函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决；(2)方程思想：方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决例1 (函数思想的应用)已知P点在圆x2(y4)21上移动，Q点在椭圆y21上移动，则|PQ|的最大值为_.解：此题可转换成在椭圆上找一点Q，使得Q到圆心C(0,4)的距离取得最大值，然后加上半径即可设Q(x，y)，|QC|2x
2、2(y4)244y2(y4)23y28y2032又1y1，当y1时，|QC|25，|QC|max5，|PQ|max516例2 (方程思想的应用)已知双曲线E：1(a0，b0)若矩形ABCD的四个顶点在双曲线E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则双曲线E的离心率是_解：由题意，得|AB|，|BC|2c，则232c，整理得2b22(c2a2)3ac，等号两端同除以a2，得2(e21)3e，解得e2二、数形结合思想数形结合思想包括“以形助数”和“以数助形”两个方面“以形助数”即是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，它是以“形”为手段，以“数”为目的，如应用函数的
3、图象来直观地说明函数的性质，应用数轴直观表达不等式组的解集“以数助形”是借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，它是以“数”为手段，以“形”为目的例3(以形助数)已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是_.解：如图，左焦点F(2，0)，右焦点F(2,0)线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM2在FFP中，OM綉PF，所以PF4根据椭圆的定义，得PFPF6，所以PF2又因为FF4，所以在RtMFF中，tanMFF，即直线PF的斜率是例4 (以数助形)已知在平面直角坐标系xOy中，直
4、线l过点M(0,4)，且与抛物线C：x24y交于A，B两点求证：OAOB证明：当直线l的斜率不存在时，不满足与抛物线C：x24y交于A，B两点当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则过点M(0,4)的直线l的方程为ykx4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得x24kx160，因为16k2640，所以kR由根与系数的关系得x1x24k，x1x216，所以x1x2y1y2x1x2160，所以OAOB三、分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现
5、了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合例5 已知x2cos y2sin 1，0,2)，就的取值讨论方程是何种曲线及曲线的位置特征解：(1)当0时，方程变为x21，即x1，此时方程的曲线是平行于y轴且距y轴为1的两条平行直线；(2)当0时，方程变为1，此时方程的曲线是中心在原点，焦点在y轴上的椭圆；(3)当时，方程变为x2y2，此时方程的曲线是圆心在原点，半径为的圆；(4)当时，方程变为1，此时方程的曲线是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；(5)当时，方程变为y21，即y1，此时方程的曲线是平行于x轴且距x轴为
6、1的两条平行直线；(6)当时，方程变为1，此时方程的曲线是中心在原点，焦点在y轴上的双曲线，其中，当时，曲线是等轴双曲线；(7)当时，方程变为x21，无实数解，此时方程的曲线不存在；(8)当时，方程变为1，无实数解，此时方程的曲线不存在；(9)当时，方程变为y21，无实数解，此时方程的曲线不存在；(10)当2时，方程变为1，此时方程的曲线是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，其中，当时，曲线是等轴双曲线四、化归转化思想化归与转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化
7、为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程例6已知直线l：ykx1与双曲线C：x2y24，在下列各种情况下求实数k的取值范围：(1)直线l与双曲线C没有公共点；(2)直线l与双曲线C有两个公共点；(3)直线l与双曲线C只有一个公共点；(4)直线l与双曲线C的右支有两个公共点；(5)直线l与双曲线C的左支有两个公共点；(6)直线l与双曲线C的两支各有一个交点解：将ykx1代入双曲线x2y24，得(1k2)x22kx50(1)直线l与双曲线C没有公共点k或k(2)直线l与双曲线C有两
8、个公共点k且k1(3)直线l与双曲线C只有一个公共点方程(1k2)x22kx50只有一个实数根，当1k20，即k1时，x或x，符合条件；当1k20，即k1时，4k220(1k2)0，解得k综上可知，k1或k(4)直线l与双曲线C的右支有两个公共点方程(1k2)x22kx50有两个不等正实数根1k(5)直线l与双曲线C的左支有两个公共点方程(1k2)x22kx50有两个不等负实数根k1(6)直线l与双曲线C的两支各有一个交点方程(1k2)x22kx50有一正根一负根1k1跟踪练习1、(2021新高考八省联考模考)椭圆1(m0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若F1AF2，则m()A1 B.C.
9、D2解析：选C.由题意得a，bm，所以c1.因为A为椭圆的上顶点，且F1AF2，所以由椭圆的对称性知F1AF2为等边三角形，所以|AF1|F1F2|2c，又由椭圆的定义知|AF1|AF2|2a，所以a2c，即2，得m.2、(2022湖南省衡阳八中月考)对于曲线C：1，下面四个说法正确的是()A曲线C不可能是椭圆B“1k4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3k4”的充分不必要条件D“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1k2.5”的充要条件解析：选D.当1k4且k2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；当k2.5时，4kk1，此时曲线C是圆，所以B错误；若曲线C是焦
10、点在y轴上的椭圆，则解得2.5k4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3k4”的必要不充分条件，所以C错误；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1k2.5，所以D正确故选D.3、直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A(1，) B(1，3)(3，)C(3，) D(0，3)(3，)解析：选B.由得(m3)x24mxm0.由0且m3及m0，得m1且m3.4、若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1 Bm0C0m5且m1 Dm1且m5解析：选D.由于直线ykx1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则01且m5，故m1且m5.5、斜率为1的直线l
11、与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B.C. D.解析：选C.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.由0得t2b0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_【解析】把y代入椭圆1，可得xa，则B，C，而F(c，0)，则，又BFC90，故有c2a2b2c2a2(a2c2)c2a20，则有3c22a2，所以该椭圆的离心率e.10、(2021广东佛山市模拟)古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平
12、面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，F是线段EO的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为_抛物线_，M，N是该曲线上的两点且MNCD，若MN经过点F，则|MN|_.由已知底面半径和高均为1，得AP，又E为PB中点，OEAP，且OEAP，所以AP平面CDE，根据圆锥曲线的定义可知截面与圆锥母线平行时，曲线为抛物线，OP底面，OPCD，又ABCD，ABOPO.CD平面PAB，CDOE如图建立平面直角坐标系，则D，设拋物线方程为y22px，则1P，P，yx，由y2和yN，yN，|MN|.
