1、高三年级考试数学试题（理）2013.1一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“”是“直线和直线互相垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【KS5U解析】当时，直线为，此时两直线不垂直，所以，所以的斜率为，若直线垂直，则有，即，所以“”是“直线和直线互相垂直”的充要条件，选C.2.如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为A.B.C.D.1【答案】A【KS5U解析】由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面为边长为1的正方形
2、，高为1的四棱锥，所以体积为，选A.3.设，则A.B.C.D.【答案】A【KS5U解析】,，所以，选A.4.设向量，若，则等于A.B.C.D.3【答案】B【KS5U解析】因为，所以，即。所以，选B.5.已知集合，集合，则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为A.B.C.D.【答案】C【KS5U解析】，则阴影部分为，所以，即阴影部分为，即，选C.6.由曲线，直线及轴所围成的曲边四边形的面积为A.B.C.D.【答案】C【KS5U解析】由得，由得,所以曲边四边形的面积为，选C. 7.函数是A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数【答案】B【K
3、S5U解析】，所以周期，所以函数为奇函数，所以选B.8.下列命题正确的是A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【KS5U解析】A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以错误。B中，若三点共线，则两平面不一定平行，所以错误。C正确。D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，所以错误。所以命题正确的为C,选C.9.设，函数的图象可能是【答
4、案】B【KS5U解析】由图象可知。，则，排除A,C.，当时，排除D,选B.10.已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数的值为A.B.C.D.1【答案】D【KS5U解析】由图象知。当时，.，所以，即由，得，所以，解得或（舍去），所以，选D. 11.以双曲线的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线线相切的圆的方程是A.B.C.D.【答案】D【KS5U解析】双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线为，不妨取渐近线，即，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即，所以圆的标准方程为，选D.12.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移
5、个长度单位D.向左平移个长度单位【答案】A【KS5U解析】由图象可知，即周期，所以，所以函数为。又，即，所以，即，因为，所以当时，所以。，所以只需将的图象向右平移，即可得到的图象，所以选A.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上.13.设非零向量满足，则_.【答案】或【KS5U解析】因为，所以，所以所，以，即，所以，所以。14.下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第个图形中小正方形的个数是_.【答案】【KS5U解析】，所以，等式两边同时累加得，即，所以第个图形中小正方形的个数是。15.已知F是抛物线的焦点，M、N是该抛物线
6、上的两点，则线段MN的中点到轴的距离为_.【答案】【KS5U解析】抛物线的焦点为，准线为。,过M,N分别作准线的垂线，则，所以，所以中位线,所以中点到轴的距离为。16.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图像如图所示，给出关于的下列命题：函数时，取极小值 函数是减函数，在是增函数，当时，函数有4个零点 如果当时，的最大值是2，那么的最小值为0，其中所有正确命题序号为_.【答案】【KS5U解析】由导数图象可知，当或时，函数递增。当或时，函数递减。所以在处，函数取得极小值，所以正确，错误。当时，由得。由图象可知，此时有四个交点，所以正确。当时，的最大值是2，由图象可知，所以的最小值为0
7、，所以正确。综上所有正确命题序号为。三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.17.（本小题满分12分）的内角A、B、C所对的边分别为，且（I）求角C；（II）求的最大值.18.（本小题满分12分）在等差数列中，其前项和为，等比数列的各项均为正数，公比为，且（I）求与；（II）设，求的值.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD.底面ABCD为直角梯形，点E在棱PA上，且PE=2EA.（I）求证：平面PBD；（II）求二面角ABED的余弦值.20.（本小题满分12分）小王于年初用50万元购买
8、一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售价格为25万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（I）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（II在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？）（利润=累计收入+销售收入-总支出）21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为、分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线与C相交于A、B两点，的周长为.（I）求椭圆C的方程；（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线的方程.22.（本小题满分14分）已知函数（I）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；（II）若对任意恒成立，求正整数的值.