1、考纲要求考纲研读1.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系2能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1.三角函数的化简是指综合利用诱导公式、同角基本关系式、两角和与差的三角函数公式导出二倍角公式，将较复杂的三角函数进行化简2化简的方法主要有异角化同角、复(半)角化单角、异次化同次、切函数化弦函数等，化简的结果必须是最简形式.第6讲 三角函数的求值、化简与证明 1转化思想是本节三角变换的基本思想，包括角的变换、函数名的变换、和积变换、次数变换等三角公式中次数和角的关系
2、：次降角升；次升角降常用的升次公式有：1sin2(sincos)2；1sin2(sincos)2；1cos22cos2；1cos22sin2.2三角公式的三大作用(1)三角函数式的化简(2)三角函数式的求值(3)三角函数式的证明3求三角函数最值的常用方法(1)配方法(2)化为一个角的三角函数(3)数形结合法(4)换元法(5)基本不等式法等1函数 ycos2x2sinxcosx 的最小正周期 T()A2 B C.2 D.32已知 tan()3，tan()2，则 tan2()A.16B16C.17D173计算 12sin222.5的结果等于()A.12B.22C.33D.32BCB5sin17co
3、s47sin73cos43_.4tan71tan11 3tan71tan11的值是()A.3 B.33C0 D1A12考点1 三角函数式的化简 例1：(2011年北京)已知函数f(x)4cosxsinx6 1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间6，4 上的最大值和最小值解析：(1)因为f(x)4cosxsinx6 14cosx32 sinx12cosx 1 3sin2x2cos2x1 3sin2xcos2x2sin2x6.所以f(x)的最小正周期为.本题是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使 三角函数中对函数yAsin(x)的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中
4、的作用(2)因为6x4，所以62x623.于是，当2x62，即x6时，f(x)取得最大值2；当2x66，即x6时，f(x)取得最小值1.【互动探究】1已知函数 f(x)2cos2x4 1sinx2.(1)求 f(x)的定义域；(2)若角 在第一象限且 cos35，求 f()解：(1)由 sinx2 0，即 xk2(kZ)，故 f(x)的定义域为x|xR且xk2，kZ.(2)由已知条件得 sin 1cos2135245，从而 f()1 2cos24sin21 2cos2cos4sin2sin4cos1cos2sin2cos2cos22sincoscos2(cossin)145.考点2 三角函数式
5、的求值 例 2：锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 tanB3aca2c2b2.(1)求证：B60；(2)求 sin(B10)1 3tan(B10)的值解析：(1)cosBa2c2b22ac，3aca2c2b232cosB.由 tanB32cosB得sinBcosB32cosB，sinB 32.角 B 是锐角，B60.(2)由(1)得，原式sin70(1 3tan50)sin701 3sin50cos50sin70cos50 3sin50cos50212cos50 32 sin50 sin70cos502sin30cos50cos30sin50sin70cos
6、502sin20sin70cos502sin20cos20cos50sin40cos50 cos50cos50 1.切化弦和边角统一都是基本方法关于三角形中的 三角函数问题，边角的统一是问题的切入点，等式右边的分子分 母均为 a，b，c 的二次齐次式，所以考虑使用余弦定理3sin702.2cos210()C【互动探究】A.12B.22 C2 D.32考点3 三角函数中的最值问题 例3：已知函数f(x)4sin24x 2 3 cos2x1且给定条件p：“4x2”(1)求f(x)的最大值及最小值；(2)若又给条件q：“|f(x)m|2”且p是q的充分条件，求实数m的取值范围解析：(1)f(x)21
7、cos22x 2 3cos2x12sin2x2 3cos2x14sin2x3 1，又4x2，62x323.即34sin2x3 15.ymax5，ymin3.(2)|f(x)m|2，m2f(x)m2.又p为q的充分条件，m23，m25.解得3m5.不等式恒成立问题，要想办法转化为求最大值、最小值问题.而求三角函数在某区间的最值(范围)时，不要只代两端点，要注意结合图象；p是q的充分条件，有pq.3设向量 m(cosx，sinx)，x(0，)，n(1，3)若 f(x)(mn)n，则函数 f(x)的值域为_(3,6解析：mn(cosx1，sinx 3)，f(x)(mn)n(cosx1，sinx 3)
8、(1，3)cosx1 3sinx3232 sinx12cosx 42sinx6 4.0 x，6x676.12sinx6 112sinx6 232sinx6 46.即函数f(x)的值域为(3,6【互动探究】易错、易混、易漏11三角函数中的二次函数问题，忽视了自变量范围的研究(1)求 sinxcosx 的取值范围；(2)求函数 f(x)的最小值例题：已知函数 f(x)2sinxcosx5sinxcosx，x0，2.正解：(1)sinxcosx 222 sinx 22 cosx 2cos4sinxsin4cosx 2sinx4.x0，2，x44，34.2sinx4 1，2sinxcosx 的取值范围
9、是1，2(2)设 tsinxcosx，则t2(sinxcosx)212sinxcosx,2sinxcosxt21.则 f(x)2sinxcosx5sinxcosx t24tt4t.设(t)t4t，由(1)知 t1，2，(t)14t20，即函数(t)在区间1，2上是减函数，其最小值为(2)2 423 2.即 x4时，函数 f(x)的最小值为 3 2.【失误与防范】认清二次函数问题是解决问题的关键，例如：若sincos是“一次”，则sincos是“二次”；若 1k是“一次”，则 2k1 是“二次”等1，三个角中任何一个角都可以用其他两个角来表示，到底谁是两角和或差要看题目而定3化简要求：(1)能求
10、值的要求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使项数尽量少；(4)尽量使分母不含三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数 2形如coscos2cos22cos2n的求值问题，只需要将分子分母都乘以2n1sin，应用正弦二倍角公式即可4将二元问题转化为一元问题的常用方法有两种：一是代入法，二是代换法最常用的代换就是三角代换形如条件 x2y21，通常设 xcos，ysin.在解析几何中常用三角代换，将二元转化为一元问题向量、解析几何、实际应用中的旋转问题也常引入角变量，转化为三角函数问题利用三角函数的有界性，可以求函数的定义域、值域等在进行三角函数的变换与求值时，要注意整体代换的灵活运用，不要一味追求将和差公式展开，如已知 tan4 3 求 tan时，方法一是 tan4 tan4tan1tan4tan3 再求解；方法二是 tantan44 1tan41tan4再求解