1、第十八讲两角和与差及二倍角公式回归课本1.C(-)cos(-)=coscos+sinsinC(+)cos(+)=coscos-sinsinS(+)sin(+)=sincos+cossinS(-)sin(-)=sincos-cossinT(+)tan(+)=(,+k+,kZ)T(-)tan(-)=(,-k+,kZ).1tantantan tan21tantantan tan2注意:(1)注意公式的适用范围:在T()中,都不等于k+(kZ).即保证tantantan()都有意义.2(2)对公式tan(+)=,下面的四种变式在以后的解题中经常用到:=tan(+)(逆用);1-tantan=tan+t
2、an=tan(+)(1-tantan);tantantan(+)=tan(+)-tan-tan.1tantantan tan1tantantan tan;()tantantan2.在和角公式S(+)C(+)T(+)中,当=时就可得到二倍角的三角函数公式S2C2T2.sin2=2sincos,cos2=cos2-sin2,tan2=22.1tantan3.余弦二倍角公式有三种形式,即cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,由此可得变形公式sin2=,cos2=,它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用.122cos 122cos 4.asin+bcos=sin(+),其
3、中cos=,sin=,tan=.的终边所在象限由点(a,b)来确定.22ab22aab22babba注意:(1)公式成立的条件:在公式中,只有当公式的等号两端都有意义时,公式才成立.(2)公式应用要讲究一个“活”字,即正用逆用变形用,还要创造条件用公式,如拆角配角技巧:=(+)-,2=(+)+(-)等.注意切化弦通分等方法的使用,充分利用三角函数值的变式,如1=tan45,-1=tan135,=tan60,=cos60或=sin30,sinx+cosx=2sin 学会灵活地运用公式.312123,3x(3)当角,中有一个角为90的整数倍时,使用诱导公式较为简便,诱导公式是两角和与差的三角函数公
4、式的特例.(4)搞清公式的来龙去脉,C(-)是基础,其他公式都是用代换法及诱导公式得到的推论,即(5)二倍角公式的正用逆用及变形用是公式的三种主要使用方法,特别是变形用有时恰是解题思路的关键.如:2sincos=sin2,sincos=sin2,cos=cos2-sin2=cos2,=tan2,122,2sinsin221tantan1sin2=sin2+cos22sincos=(sincos)2,1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2.考点陪练1.sin15cos75+cos15sin105等于()解析:sin15cos75+cos15sin105=sin15cos75+cos1
5、5sin75=sin90=1.答案:D1.0.23.12ABCD 3,2541.771.2.sin77tanABCD已知则等于343,.25543:sinco1114.34171a4st ntantantan 解析而答案:A 1,0,243.co11.2233.22s2sinABCD已知其中则的值为2211.241,0,.42:cos21 2sin,sinsin 解析又答案:B4.下列各式中,值为的是()A.2sin15cos15B.cos215-sin215C.2sin215-1 D.sin215+cos2153222222:A:2sin15 cos15sin30B:cos 15sin 15
6、cos30C:2sin 151cos30D:sin 15cos 151;233;221.解析答案:B 35,0,0,513223363.656533635.cos()sin.656sin5ABCD已知且则等于:(0,).cos()sin()cossinsinsincos0,0,2230,0,.52412,5134123533.5135136cossinA5.解析 由于因此又由于因此且因此选答案:A类型一两角和与差的三角函数解题准备:利用和差公式对三角函数式进行化简与求值,是每年高考必考内容,纵观近几年的高考试题,对本考点的内容一是直接考查,二是以和差公式为角的变换工具,与向量函数不等式等知识相
7、结合的综合题.211,23()(1)sin()sin().tantantantanotan【典例】已知求的值分析 先将条件等式展开,联立方程组求得sincos与cossin的值,再将待求式子化简即可.11(),2211(),3351,.1212sinsin coscos sinsinsin coscos sinsin ocoscos osin解由得解得22()()()()(1)()5.tantantantanotantantantan otantanotantansin ocostancos osin反思感悟 已知三角函数值,求三角函数式的值,往往要对待求式进行化简.像本题通过化简发现必须先求
8、的值,而已知条件为正弦函数值,因此由求转化为求的值,从而容易想到将两个条件等式展开,再联立方程组即可.tantantantansincoscossin类型二二倍角的三角函数解题准备:本考点的考查基本上是以二倍角公式或变形公式为工具,对角或函数名称进行恰当变换,以化简求值为主,在具体问题中,必须熟练准确地运用公式.2cos.22,322cossinsin 【典例】已知求的值2227,1.329321,22cos14n.22,sicoscossinsin cossinsin coscoscossinsinsincos 解 因为所以又原式所以反思感悟二倍角的余弦公式的正用是化倍角为单角,相应三角函数
9、式项的次数翻倍(即升幂);其逆用则是化二次式为一次式(即降幂),单角变倍角,求解中注意倍角与单角的相对性.类型三辅助角公式的应用解题准备:1.由S(+),我们可以得出辅助角公式,即asinx+bcosx=sin(x+)(其中角的终边所在象限由a,b的符号确定,角满足cos=,sin=,这是经常用到的一个公式,它可把含sinx、cosx的一次式的三角函数式化为Asin(x+)的形式,从而进一步探索三角函数的性质.22ab22aab22)bab2.:sinxsinxcosx32;32;432.6sinxcosxsin xsin xcosxcos x常用结论2223,64sin 23120020.s
10、incos【典例】不查表 计算222222222320202020(32020)(32020)64sin 2064sin1404162064sin 2032cos40804040146032.24cossinsincoscossincossinsinsinsinsincos解 原式22asinbc,6 4 33os,.ab反思感悟 对于形如的三角函数式的化简求值往往需要通过提取公因式构造辅助角 主要为然后逆用两角和与差的正余弦公式化简 尤其是当系数中含有时 一般都可运用辅助角公式错源一使用公式时不注意使用条件2222221sinm,tan2(2121.1 21 221.)D1 2.mmmmAB
11、mmmmCm【典例】若为第二象限角 则的值为以上全不对2222221sinm,:cos1,1221,11tantan2A.2msinmmtanmmtanm 错解由为第二象限角 得故选剖析这是一道热点测试题,上述解法执行了“标准”答案选A.题设条件中的m(0,1),事实上,如当=2k+(kZ)时,1-2m2=0,tan2失掉意义,若题设条件中限制m ,则应当选A.答案D3422错源二求角时对角的范围讨论不准确【典例2】若tan(-)=,tan=,且,(0,),求2-的值.12172()123,1()31423tantantan2tan(2)t1,12an2020,2224,223.44tanta
12、ntantantantantantantantan 错解所以所以由题设知得又所以故或剖析上述解法就是犯了对角的讨论不正确而错误确定了所求角的取值范围.2tantanta()123,n2tan(2)tan0,(0,),002,tan202tan(0,),1()31421.121,3230,421,72tantantantantantantantantantan 正解所以所以由且知所以又所以又且所以所以20,4223.所以技法一构造斜率【典例1】求值:2040.2040sinsincoscos解设A(cos40,sin40),B(cos20,sin20),于是所求是AB两点连线的斜率kAB,而AB
13、两点都在单位圆x2+y2=1上.设直线AB与x轴交于C点,作ODAB垂足为D.易知xOB=20,xOA=40,BOA=20,BOD=10,于是在RtCOD中,COD=30,DCO=60,于是直线AB的倾斜角xCD=120,所以kAB=tan120=20402040sinsincoscos3.技法二巧用两角和与差公式解题一巧变角1.巧凑角【典例2】若锐角、满足cos=,cos(+)=,求sin的值.4535解注意到=(+)-,sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin为锐角且cos=,sin=452431.5534,.5254 43 37.5 5cos()0si5 525n(
14、)sin又则2.巧拆角【典例3】求的值.解题切入点该题为非特殊角三角函数求值,不能直接进行,注意拆角向特殊靠拢易求值.71587158sincossincossinsin(158)158(158)15815815815815815815815817584530145158,tan15tan 4530sincossincossinsinsincoscossincossincoscossinsinsinsinsincoscoscostantantan 解 注意到原式23.30tan二巧变公式结构【典例4】求tan25+tan35+tan25tan35的值.解注意到25+35=60,故用两角和正切变
15、形公式.原式=tan(25+35)(1-tan25tan35)+tan25tan35=(1-tan25tan35)+tan25tan35=33333.三巧引参数【典例5】已知锐角、满足条件求证+=.解题切入点若注意到已知条件满足公式sin2+cos2=1时,可引进参数,进行三角代换.44221,sincoscossin 2证明由已知可设=cos,=sin,则有sin2=coscos,cos2=sinsin+得sin2+cos2=coscos+sinsin即1=cos(-).2sincos2cossin-=2k(kZ),=2k+(kZ).sin2=coscos=cos2,cos2=sinsin=sin2.又为锐角,sin=cos=又=-,故+=.2sin 2.2