1、知识点 补集1全集如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_，那么就称这个集合为全集，通常记作_.全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素所有元素U2补集UA 的三层含义：(1)UA 表示一个集合；(2)A 是 U 的子集，即 AU；(3)UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)全集一定包含任何元素()(2)同一个集合在不同的全集中补集不同()(3)不同的集合在同一个全集中的补集也不同()2设 UR，Ax|x0，Bx|x1，则 A(UB)()Ax|0 x1 Bx|0 x1Cx|x1解析：画出数轴，如图所示UBx|x
2、1，则 A(UB)x|0 x1答案：B3已知全集 U1,2，a22a3，A1，a，UA3，则实数 a 等于()A0 或 2 B0C1 或 2 D2解析：由题意，知a2，a22a33，则 a2.答案：D4设全集 UR，Mx|x2，Nx|1x3，则图中阴影部分所表示的集合是()Ax|2x1 Bx|2x2Cx|1x2 Dx|x2解析：阴影部分所表示集合是 N(UM)，又UMx|2x2，N(UM)x|1x2答案：C类型一 补集的运算例 1(1)已知 UR，集合 Ax|x2，则UA()Ax|2x2 Bx|x2Cx|2x2 Dx|x2 或 x2(2)已知全集 U，M，N 是 U 的非空子集，且UMN，则必
3、有()AMUNBM UNCUMUN DMN(3)已知全集为 U，集合 A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,4,6，求集合 B.【解析】(1)观察数轴可知，UAx|2x2(2)依据题意画出 Venn 图，观察可知，MUN.(3)因为 A1,3,5,7，UA2,4,6，所以 U1,2,3,4,5,6,7又UB1,4,6，所以 B2,3,5,7【答案】(1)C(2)A(3)见解析(1)画出数轴表示集合 A，根据补集的定义写出UA.(2)画出 Venn 图，逐个选项分析判断(3)先结合条件，由补集的性质求出全集 U，再由补集的定义求出集合 B，也可借助 Venn 图求解方法归纳 求补集的原则和方
4、法(1)一个基本原则求给定集合 A 的补集，从全集 U 中去掉属于集合 A 的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为 A 的补集(2)两种求解方法：若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍若所给的集合是用列举法表示，则用 Venn 图求解跟踪训练 1(1)设全集 UR，集合 Ax|2x5，则UA_；(2)已知 Ux|5x2 或 25(2)在集合 U 中，因为 xZ，则 x 的值为5，4，3,3,4,5，所以 U5，4，3,3,4,5又因为 Ax|x22x1503,5，B3,3,4，所以UA5，4,3,4，UB5
5、，4,5答案：(1)x|x2 或 x5(2)5，4,3,4 5，4,5(1)借助数轴求补集更直观(2)先表示出全集 U、集合 A，再求补集类型二 集合交、并、补的综合运算例 2(1)已知全集 U1,2,3,4,5,6,7,8，集合 A2,3,5,6)，集合 B1,3,4,6,7)，则集合 A(UB)()A2,5 B3,6 C2,5,6 D2,3,5,6,8(2)已知全集 UR，Ax|4x2，Bx|1x3，Pxx0，或x52，求 AB，(UB)P，(AB)(UP)【解析】(1)因为 U1,2,3,4,5,6,7,8，B1,3,4,6,7，所以UB2,5,8又 A2,3,5,6，所以 A(UB)2
6、,5(2)将集合 A，B，P 分别表示在数轴上，如图所示因为 Ax|4x2，Bx|1x3，所以 ABx|1x3又 Pxx0，或x52，所以(UB)Pxx0，或x52.又 UP x0 x52，所 以(AB)(UP)x|1x2x0 x52x|0 x2【答案】(1)A(2)见解析(1)先求UB，再求 AUB.(2)根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解方法归纳 求集合交、并、补运算的方法跟踪训练 2 已知全集 Ux|x4，集合 Ax|2x3，Bx|3x3，求UA，AB，U(AB)，(UA)B.解析：把全集 U 和集合 A，B 在数轴上表示如下：由图可知，UAx|x2 或 3x4，ABx|2
7、x3，U(AB)x|x2 或 3x4，(UA)Bx|3x2 或 x3借助数轴求出UA，UB 再运算类型三 补集思想的应用例 3 已知集合 Ax|x24x2m60，Bx|x0，若AB，求实数 m 的取值范围【解析】先求 AB时 m 的取值范围(1)当 A时，方程 x24x2m60 无实根，所以(4)24(2m6)0，解得 m1.(2)当 A，AB时，方程 x24x2m60 的根为非负实根设 方 程 x2 4x 2m 6 0 的 两 根 为 x1，x2，则4242m60，x1x240，x1x22m60，即m1，m3，解得3m1，综上，当 AB时，m 的取值范围是m|m3又因为 UR，所以当 AB时
8、，m 的取值范围是Rm|m3m|m3所以，AB时，m 的取值范围是m|m3AB，对于集合 A 而言，分 A与 A两种情况.A表示方程无实根Bx|x0，x11x210，而不是x1x22，x1x21.由于 AB，故方程 x24x2m60 一定有解，故我们还可以设全集 Um|0m|m1此时，m|3m1关于 U 的补集也是m|m3，结果相同方法归纳(1)运用补集思想求参数范围的方法：否定已知条件，考虑反面问题；求解反面问题对应的参数范围；将反面问题对应参数的范围取补集(2)补集思想适用的情况：从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想跟踪训练 3 设全集 U3,6，m2m1，A|32m|,6，UA5，求实数 m.解析：因为UA5，所以 5U 但 5A，所以 m2m15，解得 m3 或 m2.当 m3 时，|32m|35，此时 U3,5,6，A3,6，满足UA5；当 m2 时，|32m|75，此时 U3,5,6，A6,7，不符合题意舍去综上，可知 m3.,根据补集的定义，得到关于 m 的方程 m2m15，解得 m的值后还需检验.