1、考纲要求考纲研读1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.理解基本不等式的概念，熟悉基本不等式的证明方法和过程牢记基本不等式成立的条件和等号成立的条件，能将解析式变形成用基本不等式求最值的形式.第3讲 算术平均数与几何平均数(1)基本不等式成立的条件是 a，bR.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号ab(3)2 叫做算术平均数，叫做几何平均数，基本不等式式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数1基本不等式 abab2ab2几个常用的重要不等式2ab23最值定理设 x，y0，由 xy2(1)如积 xyP(定值)，_.(2)如和 xyS(定值)，
2、_.即：积定和最小，和定积最大(1)aR，a20，|a|0 当且仅当 a0 时取“”(2)a，bR，则 a2b2_.(3)aR，则 a1a_.(4)a2b22ab22则和 xy 有最小值 2Pxy则积 xy 有最大值S22BA有最大值C是增函数B有最小值D是减函数D数)，则 x，y 的大小关系是(AxyCxy)Bx0)，则 f(x)()2已知 xab，ynammbnman nbm(a，b，m，n 为正3若x0，则 x2x4x的最小值为_.54若 x0，则 x 的最小值为_.2x5已知 x，yR，且 x4y1，则 xy 的最大值为_.116解析：x0 x2x4xx4x12 x4x15.当且仅当
3、x4x即 x2 时取等号2 2考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围)t24t1t的最小例1：(2010 年重庆)已知t0，则函数 y值为_2解析：yt24t1tt1t42(t0)，当且仅当 t1时，ymin2.x 3x1(2010 年山东)若对任意 x0，x2a 恒成立，则 a的取值范围是_a 15解析：x0，x1x2.xx23x11x1x315.即xx23x1的最大值为15.故 a15.利用基本不等式求“和”的最小值时需注意验证：要求各项均为正数；要求“积”为定值；检验是否具备等号成立的条件【互动探究】1(2011 年重庆)已知 a0，b0，ab2，则 y1a4b的最小值是()A.72
4、B4 C.92 D5解析：y1a4b1a4b ab21214ba4ab 92.C考点2 利用基本不等式求参数的取值范围 例2：(2011 年浙江)设 x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy 的最大值是_解析：4x2y2xy1，(2xy)23xy1.即(2xy)2322xy1.(2xy)2322xy221.解得：(2xy)285.即2 1052xy2 105.2 105(2010 年重庆)已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是()BA3 B4 C.92D.112解析：x2y8x(2y)8x2y22，整理得(x2y)24(x2y)320.即(x2y4)(x2y8)0.又 x2
5、y0，x2y4.本题主要考查了均值不等式在求最值时的运用整 体思想是分析这类题目的突破口，即2xy 与 x2y 分别是统一的 整体，如何构造出只含2xy(2xy 亦可)与 x2y(x2y 亦可)形式的不等式是解本题的关键【互动探究】2(2010 年浙江)若正实数 x，y 满足2xy6xy，则 xy 的最小值是_.18解析：运用基本不等式 xy2xy62 2xy6，令 xyt2，可得 t22 2t60，注意到 t0，解得 t3 2，故 xy 的最小值为 18.考点3 利用基本不等式处理实际问题例3：如图 531，某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为 10 000 米2，池
6、塘前方要留 4 米宽的走道，其余各方为 2 米宽的走道，问每个池塘的长、宽各为多少米时占地总面积最少？图 531解析：设池塘的长为 x 米时占地总面积为S，解题思路：根据题意建立函数模型，利用基本不等式求最值故池塘的宽为 y10 000 x米S(6x)20 000 x6(x0)S120 000 x6x20 036120 000 x6x20 0362 720 00020 0361 200 220 036.当且仅当120 000 x6x 时，即 x220 000，x100 2时等号成立当 x100 2米时，y 10 000100 250 2米Smin1 200 220 036.答：每个池塘的长为
7、100 2米、宽为 50 2米时占地总面积最小形如函数 yxpx(p0)的形式求最值时可考虑用基本不等式，但要注意条件的限制，可借助函数图象解题，必要时借助于导数【互动探究】3一份印刷品，其排版面积为 432 cm2(矩形)，要求左右留有4 cm 的空白，上下留有 3 cm 的空白，则矩形的长为_ cm，宽为_ cm 时，用纸最省2418解析：设矩形的长为 x cm，则宽为432x cm，则总面积 y 为：y(x8)432x 6 432486x4328x4806x728x48062 x728x768，当且仅当 x728x即 x24 时取等号，此时宽为43224 18 cm.易错、易混、易漏9多
8、次使用基本不等式忽略了考虑等号能否同时成立值是_例题：已知正数 a，b 满足 ab1，则a1a b1b 的最小正解：a1a b1b ab1a1b1aba abb 11baab132 baab5.5【失误与防范】错解：a1a b1b2 a1a2 b1b4，所以最小值是 4.a1a2 a1a2，其中当且仅当 a1 时等号成立；b1b2 b1b2，其中当且仅当 b1 时等号成立这与 ab1 矛盾，最小值不能为 4.1利用均值不等式 ab2 ab以及变式 ab 等求函数的最值时，要注意到合理拆分项或配凑因式，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件(当且仅当 ab 时取“”号)，即“一正、二定、三相等”ab222当用均值不等式求函数最值失效时，要转化为研究函数的单调性，利用单调性求最值3多次重复使用均值不等式求解时，应考虑再相加相乘时字母应满足的条件及多次使用后等号成立的条件是否一致若不一致，则不等式中的等号不能成立ab 时等号成立4当 a0，b0 时，21a1b abab2 a2b22，当且仅1在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的关键所在2当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错