1、第十讲对数与对数函数回归课本1.对数概念(1)定义:一般地,对于指数式ab=N,把数b叫做以a为底N的对数,记作logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.(2)对数性质零和负数没有对数,即N0;1的对数为0,即loga1=0(a0且a1);底的对数等于1,即logaa=1(a0且a1).(3)对数恒等式:alogaN=N(a0且a1,N0).(4)常用对数:通常将以10为底的对数叫做常用对数,N的常用对数log10N简记为lgN.(5)自然对数:以无理数e=2.71828为底的对数称为自然对数,N的自然对数logeN简记作lnN.2.对数的运算性质如果a0且a1,M0,N0,那么 aaaa
2、aanaa1log Mlog N;2 log3nloglog(M N)log Mlog NM nR.;log MMN abc3.1:2(a,b,c0a,b,c1);(,0,lo1,g b log c log a01).1,.1,1aablogalog NlogbNa ba bNlog blog an logabmalogablogambn换底公式及常见结论换底公式常见结且且论 其中4.对数函数的定义一般地,函数y=logax(a0,a1,x0)叫做对数函数,它的定义域为(0,+),值域为R.5.对数函数的图象与性质y=logaxa10a1时,y0;当x1时,y0;当0 x1时,y0当0 x0在
3、(0,+)上是增函数在(0,+)上是减函数x的图象关于x轴对称6.反函数指数函数y=ax(a0,a1)与对数函数y=logax(a0,a1,x0)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.考点陪练1.已知函数的定义域为M,g(x)=ln(x+1)的定义域N,则MN=()A.x|x-1B.x|-1x1C.x|x0,即x1,所以f(x)的定义域为x|x0,x-1,所以g(x)的定义域为x|x-1.所以MN=x|-1x1,且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系为()A.nmpB.mpnC.mnpD.pmn解析:因为2a-(a-1)=a+1,且
4、a1,所以2a-(a-1)0,即2aa-10;又a2+1-2a=(a-1)2,则a2+12a0.因为a1,所以函数y=logax在(0,+)上是增函数,所以loga(a2+1)loga(2a)loga(a-1),所以mpn,故选B.答案:B3.下列四个数中最大的是().().(.2).2C ln2A ln2B ln ln2D ln2:ylnx(0,),0ln1ln2lne1,ln2ln2,ln ln20,0D22,.lnln解析 由于函数在上是增函数所以所以故选答案:D a4.f xlog x2,f x1,1a11.2B.0aa2a11a2a1a202211.22AaCD已知函数在上恒有则（）
5、或或或或解析:若a1,则f(x)=logax在2,+上是增函数,且当x2时,f(x)0.由|f(x)|1得f(x)1,即logax1.当x2,+)时,logax1恒成立,loga21,loga2logaa,1a2.若0a1,则f(x)=logax在2,+)上是减函数,且当x2时,f(x)1得-f(x)1,f(x)-1,即logax-1.当x2,+)时,logax-1恒成立,aaa1,01,11.122,1,1(1,2),l2og 21,log 2logaC.aaaa 所求 的取值范围是故答案选答案:C评析:在对数函数中如果底数含有字母,通常把底数与1比较大小,进行分类讨论.2125.(2010
6、)f x.f afa,aA.1,00,1B.,11,C.1,01,D.,0,(,10)1,0,.log xxlogxx 天津 设函数若则实数 的取值范围是 12222:a00(11a0,)()C.aalogalogalog alog a 解析 由题意可得或解之可得或因选，此答案:C类型一对数的运算解题准备:对数化简求值问题的常见思路:一是将对数的和差积商幂转化为对数真数的积商幂;二是将式子化为最简单的对数的和差积商幂,合并同类项后再进行运算,解题过程中,要抓住式子的特点,灵活使用运算法则.48394121.log 3log 3log 2log 232.log【典例】求下列式子的值分析关于对数运
7、算的题目,往往需要利用对数的运算性质对数恒等式换底公式等进行变形和求解.52223412223323332211153322232453532624555.44log 3log 3logo22l g 2logloglogloglogloglog解 原式类型二对数函数的图象解题准备:对数函数的图象:经过点(1,0),且图象都在第一四象限;都以y轴为渐近线(当0a1时,图象向下无限接近y轴);对于相同的a,函数f(x)=logax与g(x)=的图象关于x轴对称.1alog xxa10,22log0 x,.2x,a【典例】若不等式当时恒成立 求实数 的取值范围分析在同一坐标系下画出y=2x与y=lo
8、gax的图象,数形结合求解.xa2log x10,20,解 要使在上恒成立xax21222222axa10,210,21,2212,212log x,y2ylog x.y2,ylog2,2111,.2221.2a1x.aaalogaloglog aaa即使不等式在上恒成立即使函数的图象在内恒在函数的下方由于的图象过点由图可知需函数递减而即 故所求的 的范围为类型三对数函数的性质解题准备:利用对数函数的性质可以比较对数的大小,解对数不等式,也可以求与对数函数有关的函数的定义域和值域,还可以判断对数函数与其他函数复合以后的函数的单调性.【典例3】已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).(1
9、)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.分析由f(1)=1求出a的值,然后根据复合函数的单调性求单调区间;根据对数函数的性质和二次函数的最值求a的值.解(1)f(1)=1,log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,这时f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+30得-1x0.函数的定义域是x0,值域是y0,而在变形中函数y=2log2x-1的定义域是x0,值域是y0,因而原函数的图象显然是错误的.1yxlog x 2log|x 142y22|1|,.x正解图象如图所示错源二忽视真数大于0
10、2lgxlgy2lg x2y,2.xlogy【典例】已知求的值222lgxlgy2lg x2y,xyx2y,x5xy4y014,224.,xyx4y,l0,loxxyyxxoggyy错解 因为所以即所以或即或所以或剖析错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件,x0,y0,x-2y0,所以x2y0,所以x=y不成立.正解因为lgx+lgy=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,所以x=y或x=4y,因为x0,y0,x-2y0,所以x=y应舍去,所以x=4y,244.xxlogyy，即所以技法一快速解题(特例法)x1yf xya(a0a1)yx,g xf
11、 xf xf 21.yg x,aA.2,B.0,11,21,2211.,1.0,22CD【典例】已知函数的图象与函数且的图象关于直线对称记若在区间上是增函数 则实数 的取值范围是（）aaa1,2213 22g xlog x log xlog 2 1.g 2.a2,g 2,ABC,2 312D.gg快解在区间上是增函数一定成立但取、时不成立 故排除、选另解切入点y=f(x)的图象与y=ax的图象关于直线y=x对称,故f(x)=logax,可以写出g(x),注意0a1两种情况的讨论.aaaaag xlog x log xlog 2 1,log x,a,1,2log x,g x.21,22分析思维过
12、程这是关于的二次函数 由 的取值不同可确定在区间上的增减性从而可确定在区间上的增减解析解法一:由题意知,f(x)=logax,故g(x)=logax(logax+loga2-1).令t=logax,则h(t)=t2+(loga2-1)t.aaa2aa10a1,tlog x,tlog 2,log 2,.g x,h tlog a,log 2,1,221221,22121;2log 20a2,aalogtlog当时在上单调递减且对称轴因为在上单调递增 所以在上单调递减故解得 aaaaaa1,221,2212a1,tlog xtlog 2,log 2.g x,h tlog 2,lo2122g 2,lo
13、g 2,a,a1,.D.alog 当时在上单调递增且因为在上单调递增 所以在上单调递增故解得 与矛盾 舍去选 aaaaaaaaaa:f xlog x,g xlog x log xlog 2 1.g x2log xlog 2 1,g x0,2log xlog 2 101.0a1,2loglog 2 1 0,0aa11,2211.D1;.22xlnalna解法二 由题意知则令在区间上欲使只需当时 只要解得当时无解选答案D方法与技巧解法一是由复合函数的增减性讨论的,解法二利用导数讨论,但都要考虑0a1两种情况.而快解是赋值,这种方法快,但有时不一定能很快找到要取的特殊值.a,0a1a1.g x0,x
14、x0,0a11,2,2,lna0,2llog 2 1 0.12aog得分主要步骤 解中 复合函数的基本变量与中间变量的变化范围一定要十分清楚和的两种情况区间端点的值互换位置导数法证明时 由于故又当时否则 使 成立的理由不充分aaaa,xtlog 2,log 2tlog 2,log 2,.,.1,2,2易丢分原因 解中或取值范围不甚清楚会感觉到“乱”故导致丢分快解中 特殊值取得不当也会因错选而丢分技法二等价转化思想【典例2】方程的解是_.32lgx 3lgx40解题切入点要求原方程的解,需将原方程转化为熟悉的方程来解,将对数方程转化为代数方程,转化的解法一般是化为同底的对数或换元法等.2y,yy20,y1,y2,0323,y1.lgx2,x100.x100.2322lgxlgxlgx 解析 设原方程可化为解得因为所以将舍去由得所以经检验为原方程的解答案x=100方法与技巧解本题时运用换元法把原对数方程转化为关于某个字母y的二次方程,同时也是把无理方程转化为有理方程,一石二鸟,由此可见换元法的妙处.