1、第六章 三角函数 第1讲 弧度制与任意角的三角函数 考纲要求考纲研读1.了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.任意角的三角函数只与角的大小有关2能根据三角函数的定义求三角函数值3能判断不同三角函数在各个象限的符号.1任意角的概念逆时针顺时针零角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形正角是按_方向旋转形成的；负角是按_方向旋转形成的；一条射线没有作任何旋转，我们称它为_2终边相同的角|k360，kZ终边与角相同的角，可写成 S_3弧度制半径长的弧弧度制正数负数(1)长度等于_所对的圆心角叫做 1
2、 弧度的角(2)用弧度作为单位来度量角的单位制叫做_(3)正角的弧度数为_，负角的弧度数为_，零角的弧心角时所对圆弧的长，r 是圆的半径)(4)弧度与角度的换算：180_ rad；1_ rad0.017 45 rad；57.30度数为_角的弧度数的绝对值|_(其中l是以角作为1 rad180_5718.零1r1804弧长公式和扇形面积公式在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为 l_；S_.12lr在角度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为 l_；S=_.5任意角的三角函数的定义设是一个任意角，角的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离是r(r0)，那么|r nr180nr2360(1)比值
3、叫做的正弦，记作sin，即sin_.(2)比值叫做的余弦，记作cos，即cos_.(3)比值叫做的正切，记作tan，即tan_.yrxryx6三角函数值在各象限的符号yrxryx1经过2个小时，钟表上的时针旋转了()A60B60C30D30B解析：钟表的时针旋转一周是360，所以经过2个小时应旋转60.2下列各对角中终边相同的是()A.2和22k(kZ)B3和223 C79 和119D.203 和1229C3sin870_.124角 的终边在直线 x 3y0，(0,2)则 _.6或765角 的终边经过点 P(b,4)且 cos35，则 b 的值为_.解析：由 xb，y4，得 r b216，bb
4、21635，解得：b3.3考点1 角的概念 例1：(1)写出与1 840终边相同的角的集合 M；(2)把1 840的角写成 k360(0360)的形式；(3)若角M，且360，360，求角.解析：(1)M|k3601 840，kZ(2)1 8406360320.(3)M，且360360，360k3601 840360.1 480k3602 200，379 k559.kZ，k5,6.故 40或 320.在0到360范围内找与任意一个角终边相同的角时，可根据实数的带余除法进行因为任意一个角均可写成k3601(01360)的形式，所以与角终边相同的角的集合也可写成|k3601，kZ如本题M|k360
5、320，kZ由此确定360，360范围内的角时，只需令k1和0即可【互动探究】1给出下列四个命题：75是第四象限角；225是第三象限角；475是第二象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()DA1 个B2 个C3 个D4 个考点2 三角函数的概念例2：已知角终边经过点 P(3t,4t)，t0，求角的正弦、余弦和正切解析：由 x3t，y4t，得 r 3t24t25|t|.当 t0 时，r5t.因此 sin45，cos35，tan43.当 t0 时，r5t.因此 sin45，cos35，tan43.任意角的三角函数值，只与角的终边位置有关，而与角的终边上点的位置无关当角的终边上的点的坐标以参数
6、 形式给出时，由于参数 t 的符号不确定，故用分类讨论的思想，将t 分为t0 和t0 两种情况，这是解决本题的关键【互动探究】2角 的终边过点 P(8m，6cos60)且 cos45，则 m的值是()A.12B12C 32D.32解析：P(8m，3)，cos8m64m2945，m12或 m12(舍去)选 A.A3(2011 年江西)已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4，y)是角 终边上一点，且 sin2 55，则 y_.8考点3 弧度的概念例3：如图 611，一扇形的半径为 r，扇形的周长为 4.图 611(1)将扇形的面积 S 表示成半径 r 的函数，并求函数的定义域
7、；(2)问圆心角为多少弧度时，扇形的面积 S 取得最大值？解析：(1)设AB的长度为 l，由条件知 2rl4，即 l42r.扇形的面积 S12rl12r(42r)r22r.由条件得l0，r0.即42r0，r0.解不等式组得 0r2.所以 Sr22r，定义域为(0,2)(2)当 r1 时，二次函数 Sr22r 取得最大值为 1，此时 l422，圆心角 lr2.即圆心角 2 弧度时，扇形的面积最大Srl，其中l表示扇形的弧长自变量是线(线段或曲线)的长度时，求函数的定义 域的基本方法是所有的线的长度均为正数应用扇形的面积公式12【互动探究】4如图 612，向半径为 3，圆心角为3的扇形 OAB 内
8、投一个质点，则该质点落在其内切圆内的概率为_.解析：设内切圆圆心为 C，OA 与内切圆的切点为 D，连接 OC，CD.在 RtOCD 中，COD6.设 CDr，则 OC3r，故 3r2r，解出 r1.所求的概率为S内切圆S扇形 12163223.图61223考点4 三角函数的符号问题例4：判断符号：(1)sin340cos265；(2)sin4tan234.解析：(1)340是第四象限角，265是第三象限角，sin3400，cos2650，sin340cos2650.(2)432，4 弧度角在第三象限，234 64，234 弧度角在第一象限 三角函数值“符号看象限”，在使用这一结论时，要结合具
9、体函数，如第二象限角，其正弦为正，而余弦为负，就往往因被忽视而致错sin40，tan2340.sin4tan2340.【互动探究】5下列各式中计算结果为正数的是()Atan188sin275 B.tan100cos301Csin76 cos35 tan54D.sin65tan116cos23C1角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制都能在角的集合与实数集 R 之间建立一种一一对应的关系2要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数概念3已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值1在表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度制表示角但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用例2要注意区分第一象限角、锐角和小于 90的角的不同如 2k30(kZ)，k36032(kZ)都是不准确的