1、第二章 函数 第1讲 函数与映射的概念 考纲要求考纲研读1.了解构成函数的要素2会求一些简单函数的定义域和值域3了解映射的概念.函数是特殊的映射，对函数的考查主要为：概念(判断是否为函数或判断两个函数是否相同)、定义域(具体函数或抽象函数)构成映射的个数.1函数的概念(1)函数的定义设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的_，在集合 B 中都有_的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数，通常记为_.每一个数 x唯一确定yf(x)，xA(2)函数的定义域、值域的集合f(x)|xA在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范
2、围 A 叫做 yf(x)的_；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，_称为函数 yf(x)的值域(3)函数的三个要素，即_、_和_.2映射的概念定义域值域对应关系 f设 A、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的_元素，在集合 B 中都有_的元素与之对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的映射，通常记为_.任意唯一确定f：AB定义域函数值AAx|x3Cx|x3Bx|x3Dx|x32下列函数中与函数 yx 相同的是()B2,21(2011 年广东广州调研)函数 g(x)x3的定义域为()Ay(x)2By3 x3Cy x2Dyx2x3函数 y 4x2的定义域是_4函数
3、 ylg(4x)x3 的定义域是_.5设 Mx|0 x2，Ny|0y3，给出如图 211所示四个图象，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是_(填序号)x|x4 且 x3图 211考点1 映射与函数的概念 例1：(2011年湖南)给定kN*，设函数fN*N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)nk.(1)设k1，则其中一个函数f在n1处的函数值为_；(2)设k4，且当n4时，2f(n)3，则不同的函数f的个数为_.解析：(1)由法则f是正整数到正整数的映射，因为k1，所以从2开始都是一一对应的，而1可以和任何一个正整数对应，故f在n1处的函数值为任意的a(a为正整数)(2)因为2
4、f(n)3，所以根据映射的概念可得到：1,2,3,4只能是和2或者3对应，1可以和2对应，也可以和3对应，有2种对应方法，同理，2,3,4都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数f的个数等于16.答案：(1)a(a为正整数)(2)16 理解映射的概念，应注意以下几点：集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体系统；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象【互动
5、探究】解析：yx22x3(x1)244，kB且k在A中没有没有元素与之对应，则k的取值范围为k4.A1已知fAB是集合A到集合B的映射，又ABR，对应法则fyx22x3，kB且k在A中没有元素与之对应，则k的取值范围为()Ak4 B1k3 Ck4 Dk3考点2 判断两函数是否为同一个函数例2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？(1)f(x)x2，g(x)3 x3；(2)f(x)|x|x，g(x)1 (x0)，1 (x0)；(3)f(x)2n1 x2n1，g(x)2n1 x2n1(nN*)；(4)f(x)x x1，g(x)x2x；(5)f(x)x22x1，g(t)t22t1.解题思路：要判断两
6、个函数是否为同个函数，只需判断其定 义域和对应关系是否相同即可解析：(1)由于 f(x)x2|x|，g(x)3 x3x，故它们的对应关系不相同，它们不是同一函数(2)由于函数 f(x)|x|x 的定义域为(，0)(0，)，而 g(x)1 (x0)1(x0，02x10 x1 且x1，则f(x)的定义域是(1,1)(1，)易错、易混、易漏4对复合函数的定义域理解不透彻例题：(1)若函数 f(x)的定义域为2,3，则 f(x1)的定义域为_；(2)若 函 数 f(x 1)的 定义域为 2,3，则 f(x)的定义域为_；(3)若函数 f(x 1)的定义域为 2,3，则 f(x)的 定 义 域 为_，f
7、(2x1)的定义域为_；(4)若函数 f(x)的值域为2,3，则 f(x1)的值域为_；f(x)1 的值域为_正解：(1)若函数 f(x)的定义域为2,3，则 f(x1)有 2x13，解得 3x4.即 f(x1)的定义域为3,4(2)若函数 f(x1)的定义域为2,3，即 2x3，有 1x12.则 f(x)的定义域为1,2(3)若函数 f(x1)的定义域为2,3，则 f(x)的定义域为1,2则 f(2x1)有 12x12，解得 0 x12.即 f(2x1)的定义域为0，12.(4)f(x1)的图象就是将f(x)的图象向右平移1 个单位，不改变值域f(x)1 的图象就是将f(x)的图象向下平移1
8、 个单位，所以f(x1)的值域为2,3，f(x)1 的值域为1,2【失误与防范】本题是求关于抽象的复合函数的定义域和值 域，加深对函数定义域的理解，弄明白f(x)与 fu(x)定义域之间的 区别与联系，其实在这里只要 f(x)中 x 取值的范围与fu(x)中式子u(x)的取值范围一致就行了.注意习题(3)就是习题(1)和习题(2)的综合.函数的概念含有三个要素，当函数的定义域及对应关系确定之后，函数的值域也就随之确定因此，“定义域和对应关系”为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形：已知 f(x)的定义域为a，b，求 fu(x)的定义域，只需求不等 式au(x)b 的解集即可；已知 fu(x)的定义域为a，b，求 f(x)的定义域，只需求 u(x)的值域；已知 fu(x)的定义域为a，b，求 fg(x)的定义域，必须先利用的方法求 f(x)的定义域然后利用的方法求解