1、3.2 等比数列的前 n 项和课后篇巩固探究A 组1.设an是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列an前 7 项的和为()A.63B.64C.127D.128解析:设公比为 q(q0),则 1q4=16,解得 q=2(q=-2 舍去).于是 S7=-=127.答案:C2.设 Sn为等比数列an的前 n 项和,已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比 q 等于()A.3B.4C.5D.6解析:由题意知,-两式相减,得 3a3=a4-a3,即 4a3=a4,则 q=4.答案:B3.若数列an的前 n 项和 Sn=an-1(aR,且 a0)则此数列是()A.等差数列B.等比
2、数列C.等差数列或等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列解析:当 n=1 时,a1=S1=a-1;当 n2 时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1).当 a-1=0,即 a=1 时,该数列为等差数列,当 a1 时,该数列为等比数列.答案:C4.公比 q-1 的等比数列的前 3 项,前 6 项,前 9 项的和分别为 S3,S6,S9,则下面等式成立的是()A.S3+S6=S9B.=S3S9C.S3+S6-S9=D.=S3(S6+S9)解析:由题意知 S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列.(S6-S3)2=S3(S9-S6),整理得 =S
3、3(S6+S9).答案:D5.已知an是首项为 1 的等比数列,Sn是an的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 的前 5 项和为()A.或 5B.或 5C.D.解析:设an的公比为 q.由 9S3=S6知 q1 于是 -)-)-,整理得 q6-9q3+8=0,所以 q3=8 或 q3=1(舍去),于是 q=2.从而 是首项为 =1,公比为 的等比数列.其前 5 项的和 S=-()-.答案:C6.设等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=.解析:设等比数列an的公比为 q,很明显 q1 则-=4-,解得 q3=3,所以 a4=a1q3=3.答案:37.已知
4、lg x+lg x2+lg x10=110,则 lg x+lg2x+lg10 x=.答案:2 0468.已知在等比数列an中,a2=2,a5=,则 a1a2+a2a3+anan+1=.解析:设数列an的公比为 q,由 a2=2,a5=a2q3=,得 q=,a1=4.-=q2=为常数(n2)数列anan+1是以 a1a2=42=8 为首项,以 为公比的等比数列,a1a2+a2a3+anan+1=-()-(1-4-n).答案:(1-4-n)9.(2017 北京高考)已知等差数列an和等比数列bn满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求an的通项公式;(2)求和:b1+b3+
5、b5+b2n-1.解(1)设等差数列an的公差为 d.因为 a2+a4=10,所以 2a1+4d=10.解得 d=2.所以 an=2n-1.(2)设等比数列bn的公比为 q.因为 b2b4=a5,所以 b1qb1q3=9.解得 q2=3.所以 b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而 b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=-.10.导学号 33194023 已知等差数列an满足 an+1an(nN+),a1=1,该数列的前三项分别加上 1,1,3 后顺次成为等比数列bn的前三项.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设 Tn=+(nN+),求 Tn.解(1)设 d,q 分别
6、为等差数列an的公差、等比数列bn的公比,由题意知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上 1,1,3 得 2,2+d,4+2d,(2+d)2=2(4+2d),d=2.an+1an,d0,d=2.an=2n-1(nN+).由此可得 b1=2,b2=4,b3=8,q=2.bn=2n(nN+).(2)Tn=+=+-,Tn=+-,由-得 Tn=+-,Tn=1+-=3-=3-.B 组1.已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,则下列一定成立的是()A.若 a30,则 a2 0170,则 a2 0160,则 S2 0170D.若 a40,则 S2 0160解析:若 a30,则 a3=a1q20
7、,因此 a10,当公比 q0 时,任意 nN+,an0,故有 S20170,当公比 q0时,q20170,故答案为 C.答案:C2.已知数列前 n 项的和 Sn=2n-1,则此数列奇数项的前 n 项的和是()A.(2n+1-1)B.(2n+1-2)C.(22n-1)D.(22n-2)解析:由 Sn=2n-1 知当 n=1 时,a1=21-1=1.当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1,当 n=1 时也适合,an=2n-1.奇数项的前 n 项和为 Sn=-(4n-1)=(22n-1).答案:C3.等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3成等差数列,则数列an的公比为
8、.解析:由 S1,2S2,3S3成等差数列知 4S2=S1+3S3,即 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),整理得 3a3-a2=0,则数列an的公比为 .答案:4.设数列xn满足 lg xn+1=1+lg xn(nN+),且 x1+x2+x100=100,则 x101+x102+x200=.解析:由 lgxn+1=1+lgxn,得 lgxn+1=lg(10 xn),即 =10.故 x101+x102+x200=q100(x1+x2+x100)=10100100=10102.答案:101025.已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前 n 项和.若 a1,a3是方程 x2-5x+
9、4=0 的两个根,则S6=.解析:x2-5x+4=0 的两根为 1 和 4,又an为递增数列,a1=1,a3=4,q=2.S6=-)-=63.答案:636.导学号 33194024 数列an的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,nN+.(1)当实数 t 为何值时,数列an是等比数列;(2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列cn的前 n 项和,求 Tn.解(1)点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n1,且 nN+),an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an
10、,an+1=4an,n1,a2=3S1+1=3a1+1=3t+1,当 t=1 时,a2=4a1,数列an是等比数列.(2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1+n,Tn=c1+c2+cn=(40+1)+(41+2)+(4n-1+n)=(1+4+42+4n-1)+(1+2+3+n)=-).7.导学号 33194025 设数列bn的前 n 项和为 Sn,且 bn=2-2Sn,数列an为等差数列,且a5=14,a7=20.(1)求数列bn的通项公式;(2)若 cn=anbn(n=1 2 3)Tn为数列cn的前 n 项和,求 Tn.解(1)由 bn=2-2Sn,令 n=1,则 b1=2-2S1,又 S1=b1,所以 b1=.当 n2 时,由 bn=2-2Sn及 bn-1=2-2Sn-1,可得 bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,即 -.所以bn是以 为首项,为公比的等比数列,于是 bn=.(2)由数列an为等差数列,公差 d=(a7-a5)=3,可得 an=3n-1.从而 cn=anbn=2(3n-1),所以 Tn=2 -),Tn=2 -)-).-得,Tn=2 -)=2 -()-=()-),Tn=-.