1、基础知识一、函数的奇偶性1一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内每一个x，都有f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数；都有f(x)，函数f(x)叫偶函数，奇偶函数的定义域是(大前提)f(x)f(x)关于原点对称的2函数可分为(按奇偶性)：、任何一个定义域对称的非奇非偶函数都可写成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)奇函数偶函数既奇且偶函数 非奇非偶函数3基本性质：在公共定义域上，两函数有：奇奇，偶偶，奇奇，偶偶，奇奇，偶偶(分母不为零)奇函数的反函数是，若奇函数的定义域包含0时，则.4图象特征：奇函数图象关于对称；偶函数图象关于对称；反之亦然奇偶偶偶偶偶奇函数f(0)0原点y轴5判定方法：
2、首先看函数的，若对称，再看：f(x)是奇函数f(x)f(x)f(x)图象对称；f(x)是偶函数f(x)f(x)f(x)f(x)f(|x|)图象关于对称定义域是否关于原点对称f(x)01(f(x)0)关于原点f(x)01(f(x)0)f(x)y轴6推广：yf(ax)是偶函数f(ax)f(x)f(x)关于对称；类似地，f(ax)f(bx)f(x)关于x对称yf(bx)是奇函数f(bx)f(x)关于成中心对称图形；类似地，f(ax)f(bx)f(x)关于(，0)中心对称f(ax)f(2ax)xaf(bx)(b,0)7一些重要类型的奇偶函数：函数f(x)axax为函数，函数f(x)axax为函数；函数
3、f(x)(a0且a1)为函数；函数f(x)loga为函数；函数f(x)loga(x)为函数奇奇奇奇偶二、函数的周期性1对于函数f(x)，如果存在一个常数T，使得当x取定义域内的值时，都有，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫f(x)的如果所有的周期中存在一个，那么这个就叫f(x)的最小正周期2周期函数有最小正周期，若T0是f(x)的周期，则kT(kZ，k0)也一定是f(x)的周期，周期函数的定义域无界非零每一个f(xT)f(x)周期最小的正数最小正数不一定上、下3设a为非零常数，若对f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：f(xa)f(x)；f(xa)；f(xa)；f(xa)；f
4、(xa)；f(xa)f(xa)，则f(x)是函数，是它的一个周期(上述式子分母不为零)周期2a若f(x)同时关于xa与xb对称(a0)，则f()_.解析：f()f()又f()f(T)f()故f()0.答案：05(2009重庆，12)若f(x)a是奇函数，则a_.解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，答案：【例1】判断下列函数的奇偶性命题意图 本题主要考查对函数奇偶性定义的理解解答(1)由0，得定义域为1,1)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数(3)当x0，则f(x)(x)2(x)x2xf(x)当x0时，x1，f(3)a，则()Aa3Ca1解析 f(x5)f(x)，f(3)f(25)
5、f(2)，又f(x)为奇函数，f(2)f(2)，又f(2)1，a1，选择C.答案 C设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x 对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.解析：f(x)在R上为奇函数，f(x)f(x)，且有f(0)0.又yf(x)的图象关于x对称，f(x)f(x)，f(1x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(2x)f(1x)f(2x)f(x)函数的周期为2，且f(1)0.f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(1)f(0)f(1)f(0)f(1)0.答案：0总结评述：本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性等函数性质.【例3】(2009朝阳模拟)已
6、知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)求f(0)的值；(2)证明函数f(x)是周期函数；(3)若f(x)x(0 x1)，求xR时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象解析(1)因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，又f(x)的定义域为R，令x0，则f(0)f(0)，所以f(0)0.(2)证明：因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)又f(x)关于直线x1对称，所以f(x)f(2x)，即f(x2)f(x)所以f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)所以f(x)是以4为周期的周期函数.(3)解：设1x0，则0 x
7、1，所以f(x)x，又f(x)f(x)，所以当1x0时，f(x)x，即f(x)x.又因为f(0)0，所以当1x1时，f(x)x.当1x3时，3x1，则12x1，所以f(2x)2x，而f(x)关于直线x1对称，所以f(2x)f(x)，所以f(x)2x(1x3)，则f(x)则f(x)总结提示(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(ax)f(ax)，则函数f(x)的图象关于直线xa对称，反之也成立函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1、x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并
8、证明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解：(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)解得f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)为偶函数(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3.又f(3x1)f(2x6)3即f(3x1)(2x6)f(64)(*)f(x)在(0，)上是增函数，(*)等价不等式组或即或3x5或总结评述：这种利用函数满足某一等式，判断其奇偶性问题，主要是利用取特殊值法，如本题
9、中可令x11，x2x，使式子中出现f(x)与f(x)，然后再一步步地考虑还需求f(1)，f(1)，仍然用取特殊值法求解抽象函数不等式，主要是利用函数的单调性再结合函数其他性质脱去符号“f”1奇偶性是函数在定义域上的整体性质，因此讨论函数奇偶性首先要看其定义域函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，一个函数是奇(偶)函数的充要条件是其函数图象关于原点(y轴)对称2奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变形式：f(x)f(x)3解题中要注意以下性质的灵活运用：(1)f(x)为偶函数f(x)f(|x|)；(2)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.4函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件