1、考纲要求考纲研读1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.考纲特别强调数学的应用意识能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题2能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题3能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明应用的主要过程是依据现实生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.第2讲 解三角形应用举例 1解斜三角形的常用定理与公
2、式(1)三角形内角和定理：ABC180；sin(AB)_；cos(AB)_.sinCcosC(2)正弦定理：_(R 为ABC 的外接圆半径)2Ra b csinA sinB sinCc2a2b22abcosC(3)余弦定理：_.(4)三角形面积公式：_.(5)三角形边角定理：大边对大角同，大角对大边2利用正弦定理，可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)3利用余弦定理，可以解决两类有关三角形的问题(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角SABC12absi
3、nC12bcsinA12acsinBA等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形1在ABC中，若2acosBc，则ABC的形状一定是()C2如图 721 某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得CAB75，CBA45，且 AB200 米则 A，C 两点的距离为()图 721A.200 63米B100 6米C.100 63米D200 2米A3在ABC中，c3，b1，B30，则C的值为()A60 B30C120 D120或60面积为_.4若ABC满足AB AC2 3，BAC30，则三角形的5ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a，
4、b，c 成等比数列，且 c2a，则 sinB_.D174考点1 向量在三角形中的应用 C(c,0)(1)若 c5，求 sinA 的值；(2)若A 为钝角，求 c 的取值范围例1：已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，解析：(1)AB(3，4)，AC(c3，4)若 c5，则AC(2，4)cosAcosAC，AB61652 5 15.sinA2 55.(2)若A 为钝角，则3c916253.c 的取值范围是253，.(1)角的处理方法通常有三类：一是用边表示角，如正余弦定理；二是用向量表示角，如数量积的定义；三是用直线的斜率表示角(2)用向量处理角的问题时要注意两点：一是
5、要注意角的取值范围；二是利用向量处理ABC 的角，角A 是直角的充要条件是AB AC0；A 是锐角的充要条件是AB AC0 且 AB，AC不共线；A 是钝角的充要条件是AB AC0 且 AB，AC不共线【互动探究】1已知ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设向量 m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2)(1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，角 C3，求ABC 的面积解：(1)mn，asinAbsinB.即 a a2Rb b2R.ab.ABC 为等腰三角形(2)mp0，即 a(b2)b(a2)0，abab.由余弦定理可知，4a2
6、b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40.ab4(舍去 ab1)，S12absinC124sin3 3.考点2 有关三角形的边角计算问题 例 2：在锐角ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，且 a2csin A.(1)确定角 C 的大小；(2)若 c 3，且ABC 的面积为 2 3，求 a2b2 的值解析：(1)由 a2csinA 及正弦定理得，ac2sinAsinAsinC，sinA0，sinC12.ABC 是锐角三角形，C6.(2)c 3，C6，由面积公式得12absin62 3，即 ab8 3.由余弦定理得 a2b22abcos63，即 a2b2 3ab3.ab
7、8 3，a2b2243.故 a2b227.1.在解三角形中，常常要求 a2b2，ab，ab 这些值，首先要注意到，这三个值中的任意一个都可以用其余两个来表示2要注意余弦定理的变形技巧：将 a2b22abcos Cc2 变为(ab)22ab2abcosCc2 等3要注意向量的数量积与面积之间的关系(2011 年湖南)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a1，b2，cosC14(1)求ABC 的周长；(2)求 cos(AC)的值解析：(1)在ABC 中，由余弦定理得 c2a2b22abcosC14212144，c2.ABC 的周长为 1225.(2)由 cosC14得，
8、sinC 1cos2C1 116 154.由余弦定理得 cosAb2c2a22bc44122278，sinA 1cos2A14964 158.cos(AC)cosAcosCsinAsinC1478 154 1581116.解三角形与两角和与差的三角函数交汇处问题要注意以下几点：一是已知三角形的三边可以求任意一个内角的正弦值与余弦值，可以求三角形的面积；二是要注意角的取值范围，如当角的余弦值为正数且不共线时，此角一定为锐角，如当角的余弦值为负数且不共线时，此角一定为钝角，如当角的余弦值为零时，此角一定为直角【互动探究】2(2011 年广东广州二模)如图722，渔船甲位于岛屿 A的南偏西 60方向
9、的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上图 722(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin的值解：依题意，BAC120，AB12，AC10220，BCA.(1)在ABC 中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos120784.解得 BC28.所以渔船甲的速度为BC2 14 海里/小时(2)由正弦定理，得 ABsinBCsin120，所以 sinABsin120BC12 32283 314.3已知ABC 中，2 2(si
10、n2Asin2C)(ab)sinB，其外接圆半径为 2.(1)求C；(2)求ABC 面积的最大值解：(1)设三角形外接圆半径为 R.由 2 2(sin2Asin2C)(ab)sinB，得 2 2a24R2 c24R2(ab)b2R.又R 2，a2b2c2ab.cosCa2b2c22ab12.又0C180，C60.(2)S12absinC12 32 ab 34 2RsinA2RsinB2 3sinAsin(120A)2 3sinA(sin120cosAcos120sinA)3sinAcosA 3sin2A32sin2A 32 cos2A 32 3sin(2A30)32.当 2A3090，即 A6
11、0时，Smax3 32.易错、易混、易漏13在三角形中，对三边长度成等比数列或成等差数列的条件不会用例题：在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，依次成等比数列(1)求角 B 的取值范围；(2)求 y 1sin2BsinBcosB的取值范围正解：(1)a，b，c，依次成等比数列，b2ac，cosBa2c2b22aca2c2ac2ac12acca 1212.0B3.(2)y 1sin2BsinBcosBsinBcosB2sinBcosBsinBcosB 2sinB4.4B4712，22 sinB4 1.故 1y 2.所以 y 1sin2BsinBcosB的取值范围是(1，2【失
12、误与防范】主要问题是学生对三角形的三边成等比数列这一条件不会使用.第一，看不出b2ac 和余弦定理之间的联系；第二是在余弦定理中不知道使用基本不等式求cosB 的取值范围.将一个假分式化为带分式是一条基本规律，需要好好体会.1运用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式可以求有关三角形的边、角、外接圆半径、面积的值或范围等基本问题2由斜三角形六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(其中至少有一边)，求其余三个未知元素的过程，叫做解斜三角形其中已知两边及一边的对角解三角形可能出现无解，或一解或两解的情况本节的难点是三角形形状的判断与三角形实际应用问题的解决主要是学生看不到问题的本质，受到许多非本质问题的干扰要加强将实际问题转化为数学问题的能力的训练