1、考纲要求考纲研读1.理解命题的概念2了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.要理解命题之间的等价性，对于正面证明比较困难的题目，可用“正难则反”的策略进行解答2会使用等价命题化简条件和结论，理解充分条件与必要条件的相对性，能借助于集合间的包含关系判断充要关系.第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 1命题假命题可以判断_的陈述句叫做命题；命题就其结构而言分为_和_两部分；就其结果正确与否分为_和_2四种命题若 q 则 p原命题：如果 p，那么 q(或若 p 则 q)；逆命题：_；否命题：_；逆否命题：
2、_.真假条件结论真命题若p 则q若q 则p3四种命题之间的相互关系逆否命题否命题如图，原命题与_，逆命题与_是等价命题4充分条件与必要条件(1)如果 pq，则 p 是 q 的_条件必要(2)如果 qp，则 p 是 q 的_条件(3)如果既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的_条件充分必要充分1(2011 年福建)若 aR，则 a2 是(a1)(a2)0 的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件AC充要条件D既不充分又不必要条件)2“x1”是“x2x”的(A充分而不必要条件C充分必要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件A3若 aR，则“a(a3)0”是“关于 x 的方程 x2axa0
3、 没有实数根”的()AA充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件4对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是()BA所给命题为假C它的逆命题为真B它的逆否命题为真D它的否命题为真 5(2011年陕西)设a，b是向量，命题“若ab，则|a|b|”的逆命题是()A若ab，则|a|b|B若ab，则|a|b|C若|a|b|，则ab D若|a|b|，则abD考点1 四种命题的关系及真假的判断例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假：(1)面积相等的两个三角形是全等三角形；(2)若 x0，则 xy0；(3)当 cbc，则 ab；(4)若 mn0，则方程 m
4、x2xn0 有两个不相等的实数根解析：(1)逆命题：两个全等三角形面积相等(真命题)否命题：面积不等的两个三角形不是全等三角形(真命题)逆否命题：不全等的两个三角形面积不相等(假命题)(2)逆命题：若xy0，则x0(假命题)否命题：若x0，则 xy0(假命题)逆否命题：若xy0，则x0(真命题)(3)逆命题：当c0 时，若abc(真命题)否命题：当 c0 时，若acbc，则ab(真命题)逆否命题：当c0 时，若ab，则acbc(真命题)(4)逆命题：若方程mx2 x n 0 有两个不等实数根，则mn0，BxR|x0，则“x A B”是“x C”的()A充分而不必要条件C充分必要条件B必要而不充
5、分条件D既不充分也不必要条件解析：ABxR|x2，CxR|x(x2)0 xR|x2，所以 ABC.所以“xAB”是“xC”的充分必要条件故选C.CA充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件 (2011年江西)已知1，2，3是三个相互平行的平面，平面1，2之间的距离为d1，平面2，3之间的距离为d2.直线l与1，2，3分别交于P1，P2，P3.那么“P1P2P2P3”是“d1d2”的()解析：平面1，2，3平行，由图D2 可以得知：如果平面距离相等，根据两个三 角形全等可知P1P2P2P3.如果P1P2P2P3，同样是根据两 个三角形全等可知d1d2.答案：C图D2判断
6、p 是q 的什么条件，要从两方面来分析：一 是由p 能否推得q；二是由q 能否推得p；特别注意：判断命题的充要关系一定要把该题看成两个独立的命题来推理，不能光看表面现象，否则所有的结果都像“充分必要条件”【互动探究】2(2011年湖南)“x1”是“|x|1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 解析：方法一：因“x1”“|x|1”，反之；“|x|1”“x1或x1”故选A.方法二：|x|1x1，x|x1x|x1，所以“x1”是“|x|1”的充分不必要条件，故选A.A考点3 充要关系的应用例3：已知 p：|12x|5，q：x24x49m20，若 p是q的
7、充分不必要条件，求实数 m 的取值范围解析：解不等式得 p：2x3.当 m0 时，q：23mx23m.p 是q 的充分不必要条件，即pq，等价于 qp.从而23m2，23m3，m00m13.p 是 q 的充分条件，则q 是p 的充分条件，从而避免求补集；充要关系的判定转化为集合的包含关系：AB 即A 是B 的充分条件、B 是A 的必要条件；AB 即 A 是B 的充分必要条件当 m0 时，q：23mx23m.p 是q 的充分不必要条件，即pq，等价于 qp.从而23m2，23m3，m013m0.当 m0 时，q：x2，显然合乎题意综上所述，实数 m 的取值范围为13m13.【互动探究】3已知函数
8、ylg(4x)的定义域为A，集合Bx|x4解析：Ax|x4.图D3易错、易混、易漏2误把必要条件当成充要条件例题：已知点A的坐标为(1,2)，点 B 的坐标为(3,5)，点 C 的坐标为(t,0)，求使BAC 是钝角的充要条件正解：ABOB OA(2,3)，ACOC OA(t1，2)因使BAC是钝角的充要条件是 AB AC 0，且A，B，C三点不共线2(t1)60,2(2)3(t1)解得t4且t13.【失误与防范】用向量研究一个角是钝角的充要条件的常见错误是忽视共线情况即ABAC0 并不能确定BAC 是钝角它只是一个必要条件，而不是充要条件如AB，AC反向，夹角为 180，显然不是钝角，而ABAC0 成立判断命题时需注意充分、必要关系(1)要分清命题的条件和结论(2)要善于将文字语言转化为符号语言进行推理(3)要注意转化与化归思想的运用，通常把一个正面较难判断的命题转化为它的等价命题进行判断(4)当判断多个命题之间的关系时，常用图示法，它能使问题更直观，更易于判断1注重集合与逻辑问题的转化，如将充要关系的判定转化为集合的包含关系：AB 即 A 是 B 的充分条件、B 是 A 的必要条件；AB 即 A 是 B 的充分必要条件2判断 p 与 q 之间的关系时，要注意 p 与 q 之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，很容易混淆