1、有关几何体中异面直线条数的判定山西省原平市第一中学 任所怀在教学中发现有关几何体中异面直线条数的判定，同学们反映思维混乱，不知该如何判断。针对以上问题，我就近几年的高考题及课本上的一些问题进行了探讨，总结出解决此类问题的思维方法，主要考虑到异面直线是由不共面的四点确定的，而且每一组不共面四点对应三组异面直线，从而以此为突破口，找到问题解决的方案。下面以例题加以说明。空间有10个点，其中任何4点都不共面，以每4个点为顶点作一个四面体，一共可以作多少个四面体？在上面10个点任意两点的连线中，有多少对异面直线？解（一)：从10个点中任选四个点，由于它们不共面，因此以它们为顶点可作一个四面体。由此可知
2、一共可作=210个四面体。而在每一个四面体内有三对异面直线，所以在上面10点中任意两点的连线中，共有3=630对异面直线。解（二）：先从10个点中任取两点连线，有种方法；然后两从其余的8个点中任取两点连线，与第一步中的直线必成异面直线，有种方法。而又因异面直线无顺序，故这10个点的任意两点连线中共有=630对异面直线。在正三棱柱6个顶点的任意两点连线中,异面直线共有多少对?解(一):从6个顶点中任取4个顶点,其中不共面的取法有种;(去掉3个侧面)而每一组不共面的四点都对应3对异面直线,故异面直线共有3()=36对.解(二):这些异面直线可分为三类：（1）与三棱柱底面一边AB异面的直线，可看为从
3、其余的4个顶点中任选2个的连线中除去与它在侧面内共面的一条直线，则这样的异面直线有6(1)=30对;(2)与三棱柱的一条侧棱AA异面的直线，可看作从其余的4个顶点中任选2个的连线中除去与它平行的另外两条侧棱所在直线,这样的异面直线有3(-2)=12对(3) 与三棱柱侧面一条对角线AB异面的直线，可看为从其余的4个顶点中任选2个的连线中除去与它在侧面内共面的一条直线，则这样的异面直线有6(1)=30对;这样的异面直线对数共有72对,但上述计算中每组异面直线被计算了两次,故异面直线的对数就为36对.进一步推广:在正方体8个顶点任意两点的连线中,互为异面直线的共有多少对?解(一):从8个顶点中任取4
4、个顶点,其中不共面的取法有=58种;(去掉6个面和6个对角面)而每一组不共面的四点都对应3对异面直线,故异面直线共有3=174对.解(二):这些异面直线可分为三类：（1）与正方体底面一边AB异面的直线，可看为从其余的6个顶点中任选2个的连线中除去与它平行的三条直线，则这样的异面直线有12(3)=144对;(2)与正方体的一条侧面对角线异面的直线，可看作从其余的6个顶点中任选2个的连线中除去与它相交的一条面对角线和与它平行的面对角线之外的直线,这样的异面直线有12(-2)=156对(3) 与正方体的一条体对角线异面的直线，可看为从其余的6个顶点中任选2个的连线中除去其它的3条体对角线所剩的直线 ，则这样的异面直线有4(3) =48对;这样的异面直线对数共有348对,但上述计算中每组异面直线被计算了两次,故异面直线的对数就为174对.Ks5uKs5u
