1、第39课时 双曲线的简单几何性质一、选择题1若双曲线的渐近线为yx，则它的离心率可能是()A. B2 C.或2 D.或解析：双曲线的渐近线方程为yx，双曲线方程应该是1(a0，b0)且或者1(a0，b0)且.由得 2；由得 .答案：C2双曲线x2y24上一点P(x0，y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q，已知O为坐标原点，则POQ的面积为()A4 B2 C1 D不确定解析：如图，双曲线x2y24的两条渐近线yx，即xy0，|PQ|，|PR|，SPOQ|PQ|PR|1.答案：C3设双曲线1(0ab)的半焦距为c，(a,0)、(0，b)为直线l上两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率
2、为()A2 B. C. D.解析：直线l方程为1，原点到l的距离dc.又c2a2b2.abc2，4，4 e2，3e416e2160，解得e2或e.0ab，e .故e2.答案：A4(2009山东)设双曲线1的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A. B5 C. D.解析：双曲线1的一条渐近线为yx代入yx21整理得：x2x10，由已知条件0，240.即4，5.则e.答案：D二、填空题5双曲线1的准线和渐近线的交点到双曲线中心的距离等于_解析：可利用解析法和平面几何法求解答案：a6(改编题)已知F1、F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，若
3、PF1F2的面积为9，则b_.解析：由已知条件 由知，2|PF1|PF2|4b2，则b2|PF1|PF2|9，b3.答案：37已知两点M(1，)，N(4，)，给出下列方程：4x2y10；x2y23；y21；y21.在曲线上存在点P满足|MP|NP|的所有曲线是_解析：线段MN的垂直平分线方程为2xy30与4x2y10没有交点；，直线2xy30与圆x2y23有交点；将y2x3代入y21，整理得9x224x160，24249160.直线2xy30与椭圆y21相切；将y2x3代入y21，整理得7x224x200.2424720160.直线2xy30与双曲线y21相交；因此满足条件的曲线是.答案：三、
4、解答题8中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1、F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求两曲线的方程；(2)若P为两曲线的交点，求cosF1PF2.解答：(1)设两曲线的方程分别为1，1，则半焦距c.由已知得解得故所求两曲线方程分别为1和1.(2)设F1PF2，由余弦定理得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 52，由椭圆定义得|PF1|22|PF1|PF2|PF2|2196，由双曲线定义得|PF1|22|PF1|PF2|PF2|236，由得|PF1|PF2|(1cos )72，由得|PF1|PF2|(1cos
5、)8，9，解得cos .所求cosF1PF2.9已知双曲线1的离心率e1，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项？解答：假设在左半支上存在P点，使|PF1|2|PF2|d，由双曲线的第二定义知e，即|PF2|e|PF1|，再由双曲线的第一定义，得|PF2|PF1|2a，由式，解得|PF1|，|PF2|.因在PF1F2中有|PF1|PF2|2c，2c.利用e，由上式得e22e10，解得1e1，e1，1e1与已知e1矛盾符合条件的点P不存在10(2009上海)已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F(，0)，一条渐近
6、线m：xy0，设过点A(3，0)的直线l的方向向量e(1，k)(1)求双曲线C的方程；(2)若过原点的直线al，且a与l的距离为，求k的值；(3)证明：当k时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.解答：(1)由已知条件由得2，则3. 由得b21，则a22.所求双曲线方程为y21.(2)如图，设直线l的方程为yk(x3)，即kxy3k0.由已知条件得.整理得：k2，解得：k.(3)证明：设过原点且平行于l的直线b：kxy0，则直线l与b的距离d.当k时，d.又双曲线的渐近线为xy0双曲线C的右支在直线b的右下方，因此双曲线C右支上的点到直线l的距离大于.故在双曲线的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.1已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则离心率的最大值为()A. B. C2 D.解析：由双曲线定义|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，则3|PF2|2a，又|PF2|ca，3c3a2a，因此e.答案：B2若双曲线1(a0，b0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是()A(1,2) B(2，) C(1,5) D(5，)解析： ex0aeaaa3e25e20，e2或e(舍去)，e(2，)，故选B.答案：Bw.w.w.k.s.5.u.c.o.m