1、知识点一 集合的含义1元素：一般地，我们把_统称为元素2集合：把一些元素组成的_叫做集合研究对象总体3元素与集合的符号表示表示元素：通常用小写拉丁字母a，b，c，表示.集合：通常用大写拉丁字母A，B，C，表示.1集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物知识点二 集合中元素的特征与集合相等1集合中元素的特征特征含义 确定性集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的它是判断一组对象是否构成集合的标准互异性 给定一个集合，其中任何两个元素都
2、是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现无序性 集合中的元素无先后顺序之分 2.集合相等只要构成两个集合的_，我们就称这两个集合是_例如，集合1,1与集合1，1是相等的元素是一样的相等的知识点三 元素与集合的关系关系语言描述记法示例 a 属于集合 Aa 是集合A 中的元素 _a 不属于集合 A a 不是集合A 中的元素 _若 A 表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋A，长江A2对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“”“”刻画的是元素与集合之间的关系对于一个元素 a 与一个集合 A 而言，只有“aA”与“aA”这两种结果(2)和具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如
3、R0是错误的aAaA知识点四 常用数集及符号表示常用数集的字母表示常用数集简称记法全体非负整数的集合非负整数集(或自然数集)N所有正整数的集合正整数集N*或 N全体整数的集合整数集Z全体有理数的集合有理数集Q全体实数的集合实数集R3准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(
4、1)你班所有的姓氏能组成集合()(2)新课标数学人教 A 版必修 1 课本上的所有难题能组成集合()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素()2下列各项中，不能组成集合的是()A所有的正数 B所有的老人C不等于 0 的数 D我国古代四大发明解析：“老人”无明确的标准，对于某个人是否“老”无法客观地判断，因此“所有的老人”不能构成集合，故选 B.答案：B3已知集合 A 由 x1 的数构成，则有()A3A B1A C0A D1A解析：很明显 3,1 不满足不等式，而 0，1 满足不等式答案：C4下列三个命题：集合 N 中最小的数是 1；aN，则 aN；aN，bN，则 ab 的最小值是 2.其中正确
5、命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析：根据自然数的特点，显然不正确中若 a32，则aN 且 aN，显然不正确答案：A类型一 集合的概念例 1 下列对象能构成集合的是()A高一年级全体较胖的学生 Bsin 30，sin 45，cos 60，1C全体很大的自然数D平面内到ABC 三个顶点距离相等的所有点【解析】由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此 A，C不能构成集合；B 中由于 sin 30cos 60不满足互异性；D 满足集合的三要素，因此选 D.【答案】D构成集合的元素具有确定性方法归纳,判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一
6、个对象，都能确定它是不是给定集合的元素跟踪训练 1 下列各项中，不可以组成集合的是()A所有的负数B等于 2 的数C接近于 0 的数 D不等于 0 的偶数解析：由于接近于 0 的数没有一个确定的标准，因此 C 中的对象不能构成集合故选 C.答案：CC 中元素不确定类型二 元素与集合的关系例 2(1)下列关系中，正确的有()12R；2Q；|3|N；|3|Q.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个(2)满足“aA 且 4aA，aN 且 4aN”，有且只有 2个元素的集合 A 的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】(1)12是实数，2是无理数，|3|3 是非负整数，|3|3是无理数因此，正确，错
7、误(2)aA 且 4aA，aN 且 4aN，若 a0，则 4a4，此时 A0,4满足要求；若 a1，则 4a3，此时 A1,3满足要求；若 a2，则 4a2，此时 A2不满足要求故有且只有 2 个元素的集合 A 有 2 个，故选 C.【答案】(1)C(2)Ca 分类处理：a0，a1，a2；a3，a4 还讨论吗？方法归纳 判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可此时应首先明确集合是由哪些元素构成的(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可此时应首先明确已知
8、集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件跟踪训练 2 下列说法正确的是()A0N B.2Q CR D.4Z解析：A.N 为自然数集，0 是自然数，故本选项错误；B.2是无理数，Q 是有理数集合，2Q，故本选项错误；C.是实数，即R，故本选项错误；D.42,2 是正整数，则 4Z，故本选项正确故选 D.答案：DN 自然数集；Z 整数集；Q 有理数集；R 实数集类型三 集合元素的特性例 3 已知集合 A 含有两个元素 a3 和 2a1，若3A，试求实数 a 的值【解析】因为3A，Aa3,2a1，所以 a33或 2a13.若 a33，则 a0，此时集合 A3，1，符合题意
9、若 2a13，则 a1，此时集合 A4，3，符合题意综上可知，满足题意的实数 a 的值为 0 或1.首先根据3A，求 a 的所有可能取值，然后根据元素的互异性逐个检验，最后确定实数 a 的值方法归纳 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤跟踪训练 3(1)若集合 M 中的三个元素是ABC 的三边长，则ABC 一定不是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形(2)已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 1A，则实数 a 的值为_解析：(1)由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选 D.(2)若 1A，则 a1 或 a21，即 a1.当 a1 时，集合 A有重复元素所以 a1；当 a1 时，集合 A 含有两个元素 1，1，符合元素的互异性，所以 a1.答案：(1)D(2)1由元素互异性知边不能相等