1、考纲要求考纲研读1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.1.深刻理解“三个二次”之间的关系，充分借助于图象的直观性解一元二次不等式2会解含参数的简单一元二次不等式，能将分式不等式转化成整式不等式3要明确方程的根、函数的图象与 x 轴交点的横坐标与不等式之间的关系.第2讲 一元二次不等式及其解法 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式 b24ac000)的图象若a0 时，可以先将_，对照上表求解判别式 b24ac000(a0)_一元二次
2、不等式的解集ax2bxc0)_x1,2b b24ac2ax1,2 b2a没有实根x|xx2xx b2aRx|x1x1Cx|x1Bx|x1 或 x2Dx|x2 且 x1x23(2010 年广东佛山质量检测)下列给出的四组不等式中，同解的是()A.x2(x24x3)0 与 x24x30 与(2x3)(x5)0D.x22x62x11 与 x22x60 的解集是()A.12，1B(1，)C(，1)(2，)D.，12(1，)解析：2x2x10(x1)(2x1)0 x1，所以，不等式的解集为，12(1，)解一元二次不等式的步骤：先对不等式变形，使不等式的右边为零，左边的二次项系数为正；计算相应的判别式；求
3、出相应方程的根，或者判定相应的方程无根；结合相应二次函数的图象写出不等式的解集(2011 年上海)不等式1x1 的解为_解析：1x11x101xx 0.解得 x1.x1【互动探究】1(2011 年安徽)函数 y16xx2的定义域是_(3,2)考点2 含参数不等式的解法 例2：解关于 x 的一元二次不等式 x2(3a)x3a0.解题思路：比较根的大小确定解集解析：x2(3a)x3a0，(x3)(xa)0.(1)当a3时，x3，不等式解集为x|x3(2)当a3时，不等式为(x3)20，解集为x|xR且x3(3)当a3时，xa，不等式解集为x|xa解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论：根据二次项
4、系数讨论(大于0、小于 0、等于0)；根据根的判别式讨论(0、0、x2、x1x2、x1x2)【互动探究】2解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10.解：原不等可化为(ax1)(x1)2x 的解集为(1,3)(1)若方程 f(x)0 的两根一个大于3，另一个小于3，求 a的取值范围；(2)若方程 f(x)6a0 有两个相等的实根，求 f(x)的解析式解析：(1)设函数f(x)2xa(x1)(x3)，且a0.14a0.(2)f(x)ax2(4a2)x3a，f(x)6aax2(4a2)x9a0 有两个相等实根(4a2)236a20.a1 或 a15.又 a0 的解集是12，13，则 ab的值是()
5、A10 B10 C14 D14 解析：方程 ax2bx20 的两个根为12和13，1213ba，12132a，a12，b2，ab14.D 思想与方法 9利用转化与化归思想求参数的范围例题：(2011届甘肃兰州联考)已知函数f(x)x22xax，x1，)(1)若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)若对任意 a1,1，f(x)4 恒成立，求实数 x 的取值范围解析：(1)若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，即x22xax0，x1，)恒成立亦即 x22xa0，x1，)恒成立即 ax22x，x1，)恒成立即 a(x22x)max，x1，)，又x22x(x1)21.当
6、 x1 时，而(x22x)max3，x1，)，a3.对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，实数 a 的取值范围为a|a3(2)要使当 a1,1时，f(x)4 恒成立即x22xax4，x1，)恒成立x22xa0 对 a1,1恒成立把 g(a)a(x22x)看成 a 的一次函数，则使 g(a)0 对 a1,1恒成立的条件是g10，g10.即x22x10，x22x10.解得 x 21.又 x1，x 21.故所求 x 的范围是(21，)在含有多个变量的数学问题中，选准“主元”往往是解题的关键即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数如(1)
7、中x 为变量(关于x 的二次函数)，a 为参数(2)中a 为变量(关于a 的一次函数)，x 为参数1高次不等式(包括分式不等式)解法尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解(注意每个因式的最高次项的系数要求为正数)2解决一元二次不等式有关问题的常见数学思想方法(1)数形结合思想：三个二次的完美结合是数形结合思想的具体体现(2)分类讨论思想：当二项系数含参数 a 时，要对二次项系数分 a0、a0，0，0)；如果根里含有参数，要注意对两个根的大小进行讨论(3)转化与化归思想：解分式、指数、对数、绝对值等类型的不等式时，一般要把它们转化成一元二次(一次)不等式(组)的形式进行解决转化的方法通常是代数化、有理化、整式化、低次化1结合二次函数图象解不等式时，一定要注意不等号的方向与二次函数图象的开口方向2不等式的解集一定要用集合或区间的形式表示出来3含参数不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集但若按未知数讨论，最后应求并集解不等式组求的是各个不等式解集的交集，不要与并集相混淆