1、第十三讲函数模型及其应用回归课本1.三种常见的函数模型(1)在区间(0,+)上,函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数,但它们的增长速度不同.随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,表现为指数爆炸.随着x的增大,y=logax(a1)的增长速度会越来越慢.(2)随着x的增大,y=ax(a1)的图象逐渐表现为与y轴趋近平行.而y=logax(a1)的图象逐渐表现为与x轴趋近平行.(3)当a1,n0时,对于函数y=xn,y=ax,y=logax在x(0,+)时,函数y=ax的增长速度远远大于函数y=xn的增长速
2、度.而函数y=xn的增长速度远远大于函数y=logax的增长速度.因此总会存在一个x0;当xx0时,总有axxnlogax.2.形如f(x)=x+(a0,x0)的函数模型有广泛应用,利用基本不等式可求其最小值为3.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤是:第一步,审题,设出变量;第二步,根据所给模型,列出函数关系式;第三步,解函数模型;第四步,再将所得结论转译成具体问题的解答.ax2.a考点陪练1.下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()答案:A1.100100.xA yeB ylnx100 xC yxD y100 22.今有一组实验数据,如下表:t1.993.04.05.16.12v1.54
3、.047.51218.01则最佳的体现这些数据关系的函数模型是()A.v=log2tB.v=2t-2C.v=D.v=2t-2答案:C212t 3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数答案:D4.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过800元不超过4000元的按超过800元的14%纳税,超过4000元的按全稿费的11%纳税.某人出了一本书,共纳税420元,这个人的稿费为()A.3600元B.3800元C.
4、4000元D.4200元答案:B5.某人若以每股17.25元购进股票一万股,一年后以每股18.96元抛售,该年银行月利率0.8%,按月计算,为获取最大利润,某人应将钱(1+0.8%)121.10034)()A.全部购买股票B.全存入银行C.部分购买股票部分存入银行D.购买股票或存入银行均一样答案:B类型一一次函数与分段函数解题准备:分段函数模型:分段函数在不同的区间中具有不同的解析式.分段函数是一个函数,其定义域为各段自变量取值集合的并集,其值域为各段值的集合的并集.1122nn12n:fx,xD,fx,xD,yfx,xD.D,D,D.分段函数模型的表示形式通常写成如下形式其中表示区间【典例1
5、】电信局为了配合客户不同需要,设有AB两种优惠方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分).(注:图中MNCD)试问:(1)若通话时间为2小时,按方案AB各付话费多少元?(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元?(3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠?分析由图可知,两种方案都因时间段的不同导致收费不同,因此,需分段列式.解由图可知,两种方案都是由线性函数组成的分段函数,不妨用待定系数法,结合图形,先求出函数解析式,再根据题意解题.(1)由图知点M(60,98),N(500,230),C(500,168),MNCD.设这两种方案的应付话费与通话
6、时间的函数关系分别为fA(x)、fB(x),A98,060,380,60.10168,000,()3fx21161618,500.108.xxxxfB xxx 则 通话 小时两种方案的话费分别为元元 BB333(1)2x50180,fx1fx?().B500,0.183.0.3101010 xx当元时元方案 从分钟以后 每分钟收费元 ABABABBABA3,0 x60,fxfx;60 x500,fx80,fx168,x2960 x293,fxfx;29x500,fxfx;x500,fxf310113,3x.,x3133193312,9 3BA2 3x由图知 当时当时联立得因此当时当时当时 显然
7、综上所述 当分钟、即通话时间为分钟以上时 方案 才会比方案 优惠反思感悟(1)现实生活中很多问题都是用分段函数表示的,如出租车费用个人所得税话费等,分段函数是刻画现实问题的重要模型.(2)分段函数是同一个函数在不同阶段的变化规律不同,要注意各段变量的范围,特别是端点值,尤其要注意.类型二二次函数模型解题准备:二次函数模型的理解二次函数是我们比较熟悉的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的最值与范围,解决实际中的优化问题,值得注意的是一定要分析自变量的取值范围,利用二次函数的配方法通过对称轴与单调性求解是这一类函数问题的特点.【典例2】某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每年创造产值a
8、万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去加强第三产业.分流后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0 x0,x0,可解得01),函数值增大的速度越来越慢.【典例4】2008年9月25日,我国成功发射了“神舟”七号载人飞船,这标志着中国科技又迈出了具有历史意义的一步.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和,在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为:(其中k0).当燃料重量为吨(e为自然对数的底数,e2.72)时,该火箭的最大速度为4 km/s.(2)4 2(1)lnmlnemyk ln mx(1)求火箭的最大速度
9、y(千米/秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式y=f(x);(2)已知该火箭的起飞重量是544吨,则应装载多少吨燃料,才能使该火箭的最大飞行速度达到8千米/秒,顺利地把飞船发送到预定的轨道?分析本题的函数模型已经给出,只需根据题设确定出参数,然后根据函数关系及题设进行求解.8 1,xykln mxl(1),4(2)4 2,(2)4 2.k8.y8ln mxlny.em ynmlnmlnmxlnm解依题意 把代入函数关系式解得所以所求的函数关系式为整理得 8544,2x,m515444x,y8,yl,x344.344.4mxnlnmx设应装载 吨燃料方能满足题意此时代入函数关系式得解得吨故应装载吨
10、燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道类型五幂函数模型解题准备:幂函数模型:能用幂函数表达的函数模型叫做幂函数模型,幂函数模型中最常见的是二次函数模型.【典例5】某农药厂今年生产农药8000吨,计划5年后把产量提高到14000吨,问平均每年需增长百分之几?55x.,8000 1x14000,1x10,lg 1x.750.24300.0486,1x1.118,x0.11811.814,8111%.11.5%.58lg解 设平均每年需增长的百分率为 由题意得即两边取以 为底的对数得所以即故平均每年需增长错源一缺乏对一次(二次)函数最高次项的系数的关注【典例1】某科学家在一试验中发现两个变量x,y之间
11、具有一次函数关系,其中x的范围为-2,6,y的范围是-11,9,试求y关于x的函数关系式.ykxb k0,2x6,2kbkxb6kb,2kby6kb,115211,26y9.y9,6.56.2kbkkbbx 错解 设由题意得 即 又 所以解得所以函数的解析式为剖析错解对函数一次项的系数关注不够,只考虑了k0的情况,而忽视了k0,y0).证明(1)令x=1,y=4,则f(4)=f(14)=f(1)+f(4).所以f(1)=0.(2)因为f(xy)=f(x)+f(y),所以f(xn)=ax1.x,yR,f xyf xf y,f xkx,k0.2.x,yR,f xyf x f yx,yR,y0f x
12、x.3.x,yR,f xyf x f yx,yR,f y0,f xaa0,a1.(),()()()()xf xfyf yf xf xyf y 方法与技巧 对任意的有则其模型为对任意的有或对任意的有则其模型为对任意的有或对任意的有则其模型为 a4.x0,y0,f xyf xf yf xlog x a0,a1.()(),xff xf yy 对任意的有或则其模型为技法二整体思想 21,111120082007200411120042f x200 xlog.72008xxffffff 【典例】已知函数求的值 22210111110,111110,0,200820082007200711,0,200420041112001,1,f xfxxl8200720o04xxxgxxxloglogxfffffffff 解由得函数的定义域为因为所以所以1110.200420072008fff