1、考纲要求考纲研读1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的性质.1.以函数的奇偶性与周期性为载体求函数值、比较函数值的大小、解函数不等式及求参数的取值范围是本节考查的重点2研究函数性质时可以将抽象的函数具体化、直观化(利用图象).第3讲 函数的奇偶性与周期性 1函数的奇偶性的定义(1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_或_，则称 f(x)为奇函数奇函数的图象关于_对称(2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_或_，则称 f(x)为偶函数偶函数的图象关于_轴对称(3)通常采用图象或定义判断函数的奇偶性具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也
2、就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)原点f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)f(x)0yf(x)f(x)2函数的周期性的定义对于函数 f(x)，如果存在一个_T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足_，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的_非零常数f(xT)f(x)周期DA奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数)C2下列函数中，在其定义域内是奇函数的是(1函数 y 1x x1是()AyexByx12Cyx3DycosxCAy 轴对称C坐标原点对称B直线 yx 对称D直线 yx 对称3函数 f(x)1xx 的图象关于()4(2
3、011年浙江)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：f(x)为偶函数，f(x)f(x)即x2|xa|(x)2|xa|xa|xa|，a0.05设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0 x1 时，f(x)x，则 f(7.5)_.0.5解析：由f(x2)f(x)得f(x4)f(x)，故f(x)是以4为周期的函数故f(7.5)f(0.58)f(0.5)又f(x)是(，)上的奇函数，且当0 x1时，f(x)x，所以f(7.5)f(0.5)f(0.5)0.5.考点1 判断函数的奇偶性 例1：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)|x1|x1|；(2)f(x)x1x；(3)f(
4、x)1x2|x2|2；(4)f(x)x1x x0；(5)f(x)1x2 x21；(6)f(x)2x12x1.解：(1)函数的定义域为x(，)，关于原点对称f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)|x1|x1|是奇函数(2)此函数的定义域为x|x0 由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)去掉绝对值符号，根据定义判断故f(x)的定义域为1,0)(0,1，关于原点对称，且有x20.由1x20，|x2|20，得1x1，x0且x4.故 f(x)为奇函数(4)函数f(x)的定义域是(，0)(0，)当x0 时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f
5、(x)(x0)当 x0 时，x0，f(x)x(1x)f(x)(x0)故函数f(x)为奇函数从而有 f(x)1x2x22 1x2x.f(x)1x2x 1x2xf(x)(5)此函数的定义域为1,1，且f(x)0.可知图象既关于原点对称、又关于 y 轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数f(x)是奇函数(6)函数的定义域为 2x10，即 x0.f(x)2x12x12x12x12x2x2x12x1f(x)，(1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D，则 xD 时都有xD)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件，因此判断函 数的奇偶性应首先考虑函数的定义域 (2
6、)分段函数的奇偶性一般要分段证明 (3)用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域(关于原点对 称)验证 f(x)f(x)下结论，还可以利用图象法或定义的等价命题 f(x)f(x)0 或fxfx 1f(x)0来判断【互动探究】域均为 R，则()BAf(x)与 g(x)均为偶函数Cf(x)与 g(x)均为奇函数Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数1(2010年广东)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义解析：f(x)3x3xf(x)，g(x)3x3xg(x)解析：对于yax1ax1，f(x)ax1ax1ax11axf(x)为奇函数；对于ylg1x2|x3|
7、3lg1x2x，显然为奇函数；y|x|x 显然也为奇函数；对于yloga1x1x，f(x)loga1x1xloga1x1xf(x)为奇函数2下列函数中是奇函数的有几个()yax1ax1；ylg1x2|x3|3；y|x|x；yloga1x1x.A1 B2 C3 D4D考点2 利用函数的奇偶性求函数解析式例 2：设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x0，)时，f(x)x(13 x)，那么当 x(，0)时，求 f(x)的解析式解：f(x)是奇函数当 x0 时，x0.f(x)x(13 x)x(13 x)f(x)f(x)x(13 x)f(x)x13 x，x0，x13 x，x，0.【互动探究】3(201
8、1 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)x3x2，则当 x0 时，f(x)的解析式为_.f(x)x3x24(2011 年安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x2x，则 f(1)()AA3B1C1D3解析：f(1)f(1)2(1)2(1)3.故选A.考点3 函数奇偶性与周期性的综合应用A例 3：(2011 年全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x1时，f(x)2x(1x)，则 f52()A12B14C.14D.12解析：由 f(x)是周期为 2 的奇函数，利用周期性和奇偶性得：f52 f522 f12
9、 f12 212112 12.值的方法关键是通过周期性和奇偶性，把自变量转化到区间本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数520,1上进行求值【互动探究】5(2011 年山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x)x3x，则函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为()BA6B7C8D9解析：因为当0 x2 时，f(x)x3x，又因为f(x)是R 上最 小正周期为2 的周期函数，且f(0)0，所以f(6)f(4)f(2)f(0)0，又因为f(1)0，所以f(3)0，f(5)0.故函数yf(x)的图象在区间0,6上与x 轴的交点的个
10、数为7 个，故选B.DAabcCcbaBbacDcab6已知 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)lgx，设af65，bf32，cf52，则()解析：已知 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)lgx.设 af65 f45 f45，bf32 f12 f12，cf52 f12 0，cab.易错、易混、易漏5判断函数奇偶性时没有考虑定义域例题：给出下列四个函数：ylg 2x2x；ylg(2x)lg(2x)；ylg(x2)(x2)；ylg(x2)lg(x2)，其中奇函数是_，偶函数是_.正解：的定义域相同，均为(2,2)，且均有f(x)f(x)，所以都是奇函
11、数；的定义域为(，2)(2，)，且有f(x)f(x)，所以为偶函数；而的定义域为(2，)不对称，因此为非奇非偶函数【失误与防范】在判断一个函数的奇偶性时，必须注意其定义域一个函数具有奇偶性的前提是此函数的定义域关于原点对称对于函数 f(x)定义域中的任意 x，总存在一个常数 T(T0)，使得 f(xT)f(x)恒成立，则 T 是函数 yf(x)的一个周期(1)若函数 yf(x)满足 f(xa)f(xa)(a0)，则 T2a 是它的一个周期(2)若函数 yf(x)满足 f(xa)f(x)(a0)，则 T2a 是它的一个周期(3)若函数 yf(x)满足 f(xa)1fx(a0)，则 T2a 是它的
12、一个周期(4)若函数 yf(x)满足 f(xa)1fx(a0)，则 T2a 是它的一个周期1fx1fx(a0)，则 T2a 是它(5)若函数 yf(x)满足 f(xa)的一个周期(6)若函数 yf(x)(xR)的图象关于直线 xa 与 xb 对称，则 T2|ba|是它的一个周期(7)若函数 yf(x)(xR)的图象关于点(a,0)与 xb 对称，则 T4|ba|是它的一个周期对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)或f(x)f(x)，则称 f(x)为奇(偶)函数因此在讨论函数的奇偶性时，应首先求函数的定义域，观察其定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数不具备奇偶性，为非奇非偶函数；只有定义域关于原点对称，才有必要利用定义进一步研究其奇偶性
