1、第2讲 双曲线一、选择题1双曲线1的焦点到渐近线的距离为()A2 B2 C. D1解析：双曲线1的渐近线为yx，c4，其焦点坐标为(4,0)，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为2.答案：A2(2009天津卷)设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()Ayx By2x Cyx Dyx解析：由题意知2b2,2c2，所以b1，c，a，故双曲线的渐近线方程为yx.答案：C3(2010模拟精选)设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点若点P在该双曲线上，且，则P点的纵坐标为()A. B C D解析：设P(x0，y0)，由题意可知F1(，0)，F2(，0)，则(
2、x0，y0)，(x0，y0)，xy1090，y，y0.答案：B4已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2 C(1， D(1,3解析：依题意知|PF1|PF2|2a，4a|PF2|8a，当且仅当|PF2|时等号成立此时|PF2|2a，|PF1|4a，因为|PF1|PF2|2c.所以6a2c，即10)的离心率为2，则a等于_解析：由离心率公式，得22(a0)，解得a1.答案：16(2010原创题)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_解析：依题
3、意知，顶点(a,0)到渐近线xy0的距离为1，则a24，b2，故双曲线的方程为y21.答案：y217(2009辽宁卷)已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_解析：设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|2a|PF1|4|PF1|，所以当满足|PF1|PA|最小时就满足|PF|PA|取最小值由双曲线的图象可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|PA|最小而|AF1|即为|PF1|PA|的最小值，|AF1|5，故所求最小值为9.答案：9三、解答题8求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)双曲线经过点(3,9)，离心率e.(2)焦点在
4、y轴上，且过点(3，4)、.解：(1)由e2，得.设a29k(k0)，则c210k，b2c2a2k.设双曲线方程为1，或1，把(3,9)代入得k161与k0矛盾，无解；把(3,9)代入得k9.故所求双曲线方程为1.(2)设所求双曲线方程为1，则因为点(3，4)，在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得.令m，n，则方程组化为，解方程组得a216，b29.所求双曲线方程为1.9(2010山东济南调研)已知双曲线M过点P，且它的渐近线方程是x2y0.(1)求双曲线M的方程；(2)设椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，且N中斜率为4的弦的中点轨迹恰好是M的一条渐近线在N内的部分，试求椭圆N
5、的方程解：(1)由题意可得所求的双曲线方程为1.(2)由(1)知双曲线的焦点在x轴上，椭圆的焦点在y轴上，由于双曲线M的实轴长为2，可设椭圆方程为1(a)，又设N中斜率为4的弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中点为(x，y)，由得：yx.N中斜率为4的弦的中点的轨迹是直线yx在N内部分，依题意得：，a220，椭圆N的方程为1.10过双曲线的左焦点F1且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，若在双曲线的虚轴所在直线上存在一点C，使得ACB90，求双曲线离心率e的取值范围解：设该双曲线方程为1(a0，b0)，F1(-c,0)(c=)，如右图所示，则A、B两点所在直线方程为x
6、=-c，由解得y=或y= -，则A，B，设C(0，t)，ACB=90，1t2c2.由点C存在，c20，b2ac，即c2a2ac，210，e(负值舍去)综上，e.1(2010改编题)双曲线x2y22 010的左、右顶点分别为A1、A2，P为其右支上的一点，且A1PA24PA1A2，则PA1A2等于() A无法确定 B. C. D.解析：设P(x，y)，y0，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，则tan PA1H，tanPA2H(其中a22 010)，tanPA1HtanPA2H1，PA1HPA2H，设PA1A2，则PA2H5，5，即PA1A2.答案：D2(2010创新题)已知直线yk(x3)与双曲线1.信息：联立方程组，消去y后得到形如Ax2BxC0(*)的方程分类讨论：(1)当A0时，该方程恒有一解；(2)当A0时，B24AC0恒成立在满足所提供“信息”的前提下，双曲线离心率的取值范围为_解析：“信息”等价于“直线与双曲线存在公共点”，由于直线过定点(3,0)，只需保证该定点在双曲线上或双曲线的凹形区域之内，即3或m9，解得0m9.此时e 2.答案：2，)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m