1、数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（每题5分，共60分）1复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2设随机变量服从正态分布，若，则（ ）A B C. D3用数学归纳法证明时，由到，不等式左端应增加的式子为（ ）A. B. C. D.4小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则（ ）A. B. C. D. 5曲线（为参数）的离心率为( )A. B. C. D. 6已知圆，将直线向上平移2个单位与之相切，则实数的值为（ ）
2、A. -7或3 B. -2或8 C. -4或4 D. 0或67已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率相同且灯口向下放着现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为：、 、 、 、8若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 69下列说法正确的是（ ）A. ，若，则且B. ，“”是“”的必要不充分条件C. 命题“，使得”的否定是“，都有”D. 设随机变量，若，则实数的值为210某校从8名教师中选派4名教师去4个边远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案的种数是（ ）A. 240
3、B. 360 C. 540 D. 60011设，则展开式的常数项为（ ）A. -20 B. 20 C. -160 D. 16012函数的定义域是， ，对任意， ，则不等式的解集为（ ）A. B. C. ，或 D. ，或二、填空题（每题5分，共20分）13在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高观众做了一项预测：说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”比赛结果出来后，发现三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是_14如图，曲线与直线所围成的阴影部分的面积是_01
4、2 P15随机变量的分布列如下表，则D（）= 16用种颜色给一个正四面体的个顶点染色，若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，那么不同的染色方法共有 种三、解答题17（12分）某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为20人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：（1）学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”附：参考公式及数据（2）从两个班数学成绩不低于90分的同学中随机抽取3名，设为抽取成绩不低于95分同学人数，求的分布列和期望18（12分）
5、如图，三棱锥中，平面，是的中点，是的中点，点在上，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.19（10分）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线：（为参数），经过伸缩变换后得到曲线.（1）求曲线的参数方程；（2）若点的曲线上运动，试求出到直线的距离的最小值.20、（12分）已知函数.（1）若函数在点的切线平行于，求的值.（2）求函数的极值.21、（12分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选
6、择的概率；（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.22（12分）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若时，均有成立，求实数的取值范围参考答案一、选择题：1D2D3D4A5A6B7D8B9B10D11D12A【解析】令 ,则,所以函数为上单调递增，而等价于，因此，选A. 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等二、13甲141516试题分析：设三棱锥为同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，相当于将四种元素在四个位置全排列，即有,故答案为三、解答题17（I）先计算独立性
7、检验的观测值,再查表确定临界值 , ()应用超几何分布来求随机变量的分布列与期望.试题解析：（I）如图所示由知, 可以判断：有把握认为“成绩优秀与教学方式有关”. () 两个班数学成绩不低于分的同学中, 成绩不低于分同学人数有名, 从中随机抽取名, , ， ， .18（）取的中点，利用中位线的性质，可证明平面GEF/平面ABC，进而得到EF/平面ABC；（）由题意，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，求出法向量之间的夹角即可求出二面角的余弦值. 试题解析：（）证明：如图，取AD中点G，连接GE，GF，则GE/AC，GF/AB， 因为GEGF=G，ACAB=A，所以平面GEF/平面A
8、BC，所以EF/平面ABC （）作BOAC于点O，过点O作OH/PA，以O为坐标原点，OB，OC，OH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标系，则，则平面CDA的一个法向量为设平面CDB的一个法向量为则可取，所以，所以二面角BCDA的余弦值为 19（1）由，得.由函数在点的切线平行于，得，解得.（2）.当时， ， 在上为增函数， 无极值.当时，令，得， .所以， ； ， ；在上单调递减；在上单调递增.在取得极小值，极小值为，无极大值.20、 ()每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数N= 3分 () 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为 7分() 设A选修课被这3名学生选择的人数为，则0,1,2,3P(0) P(1)P(2)P(3) 9分的分布列是10分 12分21（1）将曲线：（为参数）化为，由伸缩变换化为，代入圆的方程得，即，可得参数方程为（为参数）.（2）曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程：，点到的距离，点到的距离的最小值为.22（1）当时， ，当或时， ；当或时， .所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）， ，当时， 恒成立，故时， ，不合题意；当时，由得： ， ，若，此时，对，有，即时， ，不合题意；若，此时，对，有，即时， ，不合题意；若，由（1）知，函数在时取到最大值0，符合题意.综上所述， 即为所求.