1、考纲要求考纲研读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点x3了解指数函数 ya 与对数函数 ylogax 互为反函数(a0，a1).1.能进行指数式与对数式的互化，能根据运算法则、换底公式进行运算2能利用对数函数的单调性比较大小、解对数不等式，会解对数方程，利用图象判断解的个数3反函数的概念仅限于指数函数与对数函数之间4会求与不等式相结合的代数式的最值或参数的取值范围.第2讲 对数式与对数函数 1对数的概念(1)如果 axN(a0 且 a1)，那么 x 叫做
2、以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数(2)对数恒等式：loga10，logaa1，N.(3)以 10 为底的对数叫做常用对数，记作 lgN；以 e 为底的对数叫做自然对数，记作 lnN.loga Na2对数的运算性质如果 a0，a1，M0，N0，则(1)logbN_(a，b0，a，b1，N0)(2)logbalogab_(a0，a1，b0)logaMlogaNnlogaMlogaMlogaN(1)loga(MN)_.(2)logaMn_(nR)(3)logaMN_.logaNlogab3换底公式lognma b _(a0，a1，b0)1mnlog
3、abylogax(a1)ylogax(0a1)图象定义域值域R性质过定点(1,0)，即当 x1 时，y0 x(0,1)时 y0，x(1，)时 y0 x(0,1)时 y0，x(1，)时 y0在(0，)上是单调递_在(0，)上是单调递_4对数函数的图象及性质(0，)增减5.指数函数 yax 与对数函数 ylogax 互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称DA1log2 2的值为()A 2 B.2 C12D.122已知12log b12log a2a2cB2a2b2cC2c2b2aD2c2a2b3若函数 yf(x)是函数 yax(a0，且 a1)的反函数，且f(2)1，则 f(x)()A4下列指
4、数式与对数式互化不正确的一组是()C5(2011 年广东清远一模)若 log2(a2)2，则 3a_.Alog2xB.12x C12log xD2x29Ae01 与 ln10 B138 12与 log81213Clog392 与129 3 Dlog771 与 717考点1 对数式的运算例1：已知lg2a，lg3b，用a，b表示log1245_.解析：log1245lg45lg122lg3lg52lg2lg32b1a2ab.2b1a2abA0B1C2D4CA(2010年四川)2log510log50.25()解析：2log510log50.25log5100log50.25log5252.故选C
5、.(2010 年辽宁)设 2a5bm，且1a1b2，则 m()A.10B10 C20 D100解析：1a1blogm2logm5logm102，m210，又m0，m 10，故选 A.(1)题应设法对数换底公式将 log1245 换成以常用 对数，并且设法将12 与45 转化为2,3 来表示；(2)题直接利用对数的运算法则；(3)题考查指数式与对数式的互化及换底公式的变形形式 logab 1logba.对数的运算法则及换底公式是对数运算的基础，应该熟记并能灵活应用【互动探究】3131(1)已知23a 49(a0)，则23log a_；(2)若 2.5x1 000,0.25y1 000，则1x1y
6、_.解析：(1)3232323222()33aa23log a23log3233.(2)xlog2.51 000，ylog0.251 000，1x1y1log2.51 0001log0.251 000log1 0002.5log1 0000.25log1 0002.50.25log1 0001013.考点2 对数函数的图象例2：已知 loga2logb2，则不可能成立的是()Aab1Bb1a0C0baa1解析：(1)令y1logax，y2logbx，由于loga2logb2，它们的 函数图象可能有如下三种情况，由图D5(1)、(2)、(3)，分别得0a1b，ab1,0ba1.图D5D【互动探究
7、】2如果函数 yax(a0，a1)是增函数，那么函数 f(x)loga1x1的图象大致是()D3已知函数 yf(x)(xR)满足 f(x1)f(x1)，且当 x-1,1时，f(x)x2，则方程 yf(x)与 ylog5x 的实根个数为()A2B3C4D5C图D6 解析：由f(x1)f(x1)知函数yf(x)的周期为2，作出其图象如图D6，当x5时，f(x)1，log 5x1；当x5时，f(x)0,1，log5x1，yf(x)与ylog5x的图象不再有交点，故选C.考点3 对数函数性质及其应用 例3：已知 yf(x)是二次函数，且 f(0)8 及 f(x1)f(x)2x1.(1)求 f(x)的解
8、析式；(2)求函数 ylog3f(x)的单调递减区间及值域解析：(1)设f(x)ax2bxc，由f(0)8得c8.由f(x1)f(x)2x1得a1，b2.f(x)x22x8.(2)ylog3f(x)log3(x22x8)log3(x1)29当x22x80时，2x4，单调递减区间为(1,4)，值域(，2设 a 为常数，试讨论方程 lg(x1)lg(3x)lg(ax)的实根的个数解析：原方程等价于3x0，ax0，(x1)(3x)ax，即 ax25x3，1x3.构造函数yx25x3(1x3)和ya，x10，作出它们的图象，如图321.易知平行于 x 轴的直线与抛物线的交点情况：图321当 1a3 或 a134 时，原方程有一解；当 3a134 时，原方程有两解；当 a1 或 a134 时，原方程无解【互动探究】增区间为()CA0，)B(，0C0,2)D(2,04设函数 f(x)是函数 g(x)12x的反函数，则 f(4x2)的单调递5关于 x 的方程 lg(ax1)lg(x3)1 有解，则 a 的取值范围是_.13a0.化简得3a1a100，N0；在讨论对数函数的性质时，应注意定义域及底数的范围，必须时刻注意底数 a0 且a1，若不清楚其取值范围时，应树立分类讨论的数学思想，分a1 和 0a1 两种情况进行讨论
