1、高考资源网（） 您身边的高考专家第十章 排列、组合和概率一、排列与组合学习指导1重点与难点（1）分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理），是本章学习的基础，灵活运用这两个原理时问题进行分类或分步往往是解应用题的关键。（2）排列，重点是排列的概念，关键是弄清排列与排列数之间的区别与联系，从而正确运用排列数公式进行计算，难点是对具有特殊要求的排列问题的分析。（3）组合，重点是组合的概念，关键是准确、全面把握排列与组合这两个概念，正确区分是排列问题，还是组合问题，弄清组合与组合数之间的区别与联系，掌握组合数的两个性质，从而能正确运用组合数公式进行计算，难点是用组合数解决有关问题。2知识点回
2、顾（1）分类计数原理（加法原理）完成一件事，有几类办法，在第一类中有种有不同的方法，在第2类中有种不同的方法在第n类型有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。（2）分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。（3）分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。（4）排列：从n个元素中取出个元素，按照一定的
3、顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。（5）排列数：从n个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，并且有排列数公式：，。，叫做n的阶乘；规定，当时的排列叫全排列，全排列数；排列数公式还可以写成.（6）组合：从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，并且有，。其中规定，组合数的性质：（i）；。例题选讲例1用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字。（1）可以组成多少个六位数？ （2）可以组成多少个四位奇数？（3）可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个？（4）可以组成多
4、少个能被3整除的四位数？ （5）可以组成多少个大于324105的六位数？解：（1）从特殊元素0入手，0不能排在十万位，0有种排法，剩下的5个数字可排在5个数位下，有种，故可组成个六位数。从特殊位置十万位入手，有种排法，剩下的五个位置有种，故可组成个六位数。六个数字可组成个“六位数”（其中包括0在十万位的情形），而0在最高位上的“六位数”应扣除，有个，故共有个六位数。（2）从特殊位置入手，个位上有种排法，首位上有种排法，中间两位上有种排法，故共有个；从特殊元素入手，可分为两类，含数字0的有个，不含有数字0的有个，故共有四位奇数个。采用去杂法， 个位是奇数的数共有个，其中不合条件的（0在首位）有个
5、，故符合条件的四位奇数共有个。（3）分类：如果有0，则0可排在个位或十位有2种，其余5个数字可排在二个数位上有种，所以有个三位数；如果无0，则2、4中可选出1个有2种，再从其余3个奇数中选出2个有种，然后将3个数字全排列有种，所以有个二位数，如果无0，则2、4中可选出2个有1种，再从其余3个奇数中选出1个有3种，然后将3个数字全排列有种，所以有个三位数，共有个。三位数共有个，但其中三个数字都不是偶数即均为奇数的有个，故至少含有一个偶数的三位数有个。注：（3）中解法一（选化法）显然比第二种解法（去杂法）烦。（4）一个整数能被3整除的充要条件是它的各位数字之和是3的倍数，符合条件的有5组数：0、1
6、、2、3；0、2、3、4；0、3、4、5；0、1、3、5；1、2、4、5；前4组每组组成的四位数各有个，后一组组成的四位数有个，故可组成能被3整除的四位数有个。（5）采用去杂法，六位数共有个，不大于324105的数列如3240有2个；321与320有个；31与30有个；324105 1个；2与1有个，所以满足条件的六位数共有个。采用选化法，符合条件的是形如5和4的数有个；35和34的数有个；325的数有个；3245的数有个，还有1个324150，故符合条件的六位数共有个。例2五个人排成一排，按下列要求的有多少种排法？（1）其中甲不站排头； （2）其中甲不站排头，乙不站排尾；（3）其中甲、乙两人
7、必须相邻； （4）其中甲、乙两人必须不相邻（5）其中甲、乙中间有且只有1人； （5）其中甲必须排在乙的右边。解：（1）先排甲，有4种排法，然后排其余四人，有种排法，故有种；先排排头，有4种排法，其余四个位置有种排法，故有种；去杂法：种；（2）甲在排尾，种； 甲不在排尾，种，所以共有种。（3）将甲、乙两人捆在一起作为一个元素与其他3个元素作全排列有种，然后甲乙再作全排有种，故共有种。（4）五个人排成一排有种排法，除去甲、乙两人相邻的排法48种，共有种。先排甲、乙以外的三人，则有种排法，这三人之间及两端留出4个空位，去排甲、乙两人有种排法，故共有种（5）甲、乙两人有种排法，从剩下的三人中选一人插入
8、甲、乙中间，有种，然后再将这三人看作一个元素，和其他二个元素全排列，有种，故共有种。（6）五个人的全排列为种，其中甲、乙不同顺序的排法有种，但只有一种顺序符合要求，故共有种。注：上述例1、例2为典型例题，好多问题可以归纲为上面的思维方式去解决问题。例3某班级有20名男生和18名女生，从这38名学生中任选4名参加一个“Party”。（1）其中恰有2名女生的选法有多少种？ （2）其中至少有2名女孩子生的选法有多少种？解：（1）（2）分3类：4人中无女生：；4人中恰有1女生；4人中恰有2女生，故共有种例4从5双不同的鞋子中任取4只。（1）取出的4只鞋子中至少能配成1双，有多少种不同的取法？（2）取出
9、的4只鞋子，任何2只都不能配成1双，有多少种不同的取法？解：（1）分两类：取出的4只鞋子恰好配成2双，有种取法。取出的4只鞋子有且只有2只能配成1双，分2步完成，第一步，从5双鞋子中任取1双，有种取法，第二步再分为3类，第1类，从余下的穿在左脚的4只鞋子中任取2只，有种取法；第2类，从余下的穿在右脚的4只鞋子中任取2只，有种取法，第3类，从余下的左（或右脚）的4只中任取1只，再在余下的右（或左脚）的和已取1只不相配的3只鞋子中任取1只；有种取法，故共有种取法。由知，共有种。（2）解法一，用“0”表示右脚的鞋子，“”表示左脚的鞋子。 形如0000， 形如0， 形如00，形如000， 形如，综上可
10、知，有种解法二：分二步，第1步，从5双不同的鞋子中任取4双，有种；第2步，从取出的4双的每1双中任取1只，有种，故共有种解法三：从5双不同的鞋子中任取4只，有种取法，除去第（2）题的情况，就是任何2只都不能配成1双的情况，故有种。例5有8名游客同划1条船，其中2名只会划左舷，3名只会划右舷，另3名左右两舷都会划，现要在两舷各排4名游客，问有多少种不同的排法？解：第1步，只要从左右两舷都会划的3人中选2人排左舷，剩下1人排右舷，有种排法；第2步，把左、右两舷的4人全排列，有种排法，故共有种。例6有不同的书6本，分给甲、乙、丙三个学生，若（1）每人各得2本，有多少种分法？ （2）甲得1本，乙得2本
11、，丙得3本，有多少种分法？（3）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种分法？解（1）从6本书中选出2本给甲有种，从剩下的4本中选出2本给乙有种，把剩下的2本书给丙有种，故共有种。（2）从6本书中选出1本给甲有种，从剩下的5本中选出2本给乙有种，把剩下的3本书给丙有种，故共有种。（3）从6本书中选出1本有种，从剩下的5本书中选2本有种，从剩下的3本书中选3本有种，然后分给甲、乙、丙三人有种。故共有种。注：若将此6本书分成三堆，每堆2本，属于均分组，有种分法，一般地，把个元素均分成m组时，由于组与组之间是无序的，求不同的分组方式时，要除以组数的全排列。例7 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取
12、出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（ ）（A）140种 （B）84种 （C）70种 （D）35种【分析】本题是有限制条件的组合问题，所给的9台电视机分成两个集合，一个是甲型电视机有4台，另一个是乙型电视机有5台，解决这个问题的关键是应先确定从每个集合中选取多少个元素构成所需要的组合，并以此作为分类的依据，既先定元素的数目，再选取，否则容易出现重复的取法【解法一】符合条件的组合有两类：一类是由2台甲型电视机与1台乙型电视机构成，有种取法；另一类是由1台甲型电视机与2台乙型电视机构成，有种取法因此，符合条件的取法共有种，应选C【解法二】从9台电视机中取出3台有种取法，不符
13、合条件的取法也有两类：一类是3台甲型电视机，0台乙型电视机，取法有；另一类是0台甲型电视机，3台乙型电视机，取法有因此，符合条件的取法共有种，应选C【点评】这类问题常有下面错误的解法：从4台甲型电视机中取1台有种取法，从5台乙型电视机中取1台有种取法，再从余下的7台电视机中取1台有种取法，因此共有种取法，实际上上面的取法中有重复的地方如：按照上面的解法，下列两种取法甲、乙、甲与甲、乙、甲是不同的取法，但实际上它们应该是一种取法，是相同的例8 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）
14、（A）5种 （B）6种 （C）7种 （D）8种【分析】3片软件需资金180元，2盒磁盘需资金140元，两者相加需320元；由500320180知，问题等价于用不超过180元的资金去购买单价分别为60元的软件和70元的磁盘共有多少种购买的方式，由于180元资金最多可购买2盒磁盘，因此问题可分为下列三种情况来解本题也可以通过不等式来解【解法一】购买2盒磁盘，此时尚余资金40元，只能购买0片软件；购买1盒磁盘，此时尚余资金110元，只能购买1片、0片软件；购买0盒磁盘，此时尚余资金180元，只能购买3片、2片、1片、0片软件；因此，不同的选购方式共有1247种，应选C【解法二】【点评】有不少考生没有
15、认真弄清不超过500元的含义，误以为除需要购买的以外，还必须购买一些东西，因此，少了一种两者都不买的情形，而错误地选择B例9 有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些排成一列放在书架上，则数学书恰好放在一起，外文书恰好放在一起的排法共有_种（结果用数值表示）【分析】本题是相邻的排列问题，将3本数学书看成一个元素（捆绑），2本外文书看成一个元素，与其余3本书（3个元素），参加排列，有种排法，考虑3本数学书本身之间的顺序（再考虑捆绑在一起的数学书）有种，2种外文书本身之间的顺序有种【解】依题意符合条件的排法共有种【点评】（1）处理相邻排列常用“捆绑”法，即先将它们看成一
16、个元素，参加排列，再将它们“打开”作全排列（也就是考虑它们本身之间的顺序关系）（2）处理不相邻排列有两种基本方法：一是插空法，即先排列其它的元素，然后将不相邻的元素插入前者形成的空隙中；二是选位法，即先选定位置（分类讨论元素所在的位置），再排列，其中第二种方法适合元素之间间隔较大的情形例10 4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒的放法共有_种【分析】先确定空盒有种方法，再将4个小球分成2、1、1三堆，有种分堆方法：最后将三堆小球放入三个盒子中（由于盒子有编号，故应是排列问题）有种放法【解】由已知共有种放法点评】分堆时，由于堆与堆之间没有顺序，因此平均分堆（堆与堆之间
17、元素数目相同）时要除，不平均分堆不要除，如：6本不同的书，分成1本、2本、3本三堆是不平均分堆，不要除，其分堆方法有种；6本不同的书，分成2本，2本，2本三堆是平均分堆，要除，其分堆方法有种；6本不同的书，分成1本、1本、4本三堆含有平均分堆，要除，种巩固与练习：一、 选择题：1、某演出队有8名演员，其中6人会跳舞，5人会唱歌，现从8人中选出2人，一人跳舞，一人唱歌，则选法共有（ ）A.24种 B.27种 C.28种 D.36种2、学校组织三个班级去A、B、C、D四个单位进行社会调查，除其中A单位必须有班级去外，无任何限制条件，则不同的分配方案为（ ）A.37种 B.48种 C.16种 D.1
18、8种 3、5项不同的工程由3个工程队全部承包下来，每队至少承包1项，则不同的承包方案有（ ）A.420种 B.240种 C.150种 D.90种4、有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各1个，则能称出不同的重量（ ）A.32种 B.31种 C.28种 D.26种5有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人选派4人承担这三项任务，不同的选法共有 （） （A）1260种 （B）2025种 （C）2520种 （D）5040种6班级外语兴趣小组有5名男生，5名女生，现在要从中选出4名参加校外语演讲比赛，要求男女生都有，则不同的选法有 （） （A）210种 （B）200种 （C）
19、120种 （D）100种7已知集合1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中含有5个元素，且至少有2个偶数的子集有 （） （A）12000个 （B）7200个 （C）105个 （D）95个88本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中有两人各得3本，一人得2本,则不同的分法共有（） （A）1680种 （B）3360种 （C）560种 （D）280种9从0，1，2，3，4中每次取出不同的三个数字组成三位数，那么这些三位数的个位数之和为 （） （A）80 （B）90 （C）110 （D）12010已知、为平面内的两条相交直线，上有个点，上有个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这1个点为顶点的三角形个数为
20、 （） 二、填空题1欲将一张10元人民币换成零钱，已知现钱只有足够的1元、2元、5元的人民币，问共有_种不同的换法2学校为高二年级学生开设选修课，文科有四门，理科有五门，外语有三门，应用学科有四门，规定每个学生选修一门，则每个学生有_种不同的选法3从6个运动员中选4个参数4400米接力赛，如果甲、乙两人都不能跑第一棒，那么共有_种不同的参赛方案（用数学作答）4在5双不同的鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的可能取法种数是_5电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，问每排最多可产生_种不同的信息6从集合中选3个不同的数，使这3个数组成递增等差数列，这样的数列
21、共有_个7男生5人和女生3人排成一行，要求两端不排女生，且任何2个女生都不相邻，则不同的排法种数是_（结果用数值表示）8从一个小组的若干人中选出4个学生代表与选出正副组长各一人的选法种数之比为13：2，则这个小组的人数是_三、解答题：1、有12台彩电，其中3台是次品，若从12台彩电中选6台，（1）恰好只有1台次品的选法有多少种？（2）至少1台次品，有多少种不同的选法？（3）都是正品的选法有多少种？2、有8对不同型号的茶杯和杯盖，从中任取茶杯和杯盖各3只。（1）恰好全部配成对的取法有多少种？（2）恰好能配成2对的取法有多少种？（3）都不能配成对的取法有多少种？3、用1、2、3、4、5、6、7、8
22、、9这九个数字，可组成多少个满足下列条件的数字。（1）五位奇数；（2）五位数中要求奇数位上排奇数，偶数位上排偶数；（3）五位数中，奇数位上必定排奇数；（4）五位数中，奇数必定排在奇数位上。4、从1到100的自然数中，每次取出不同两数，（1）使其积能被3除尽的有几对？不能被3除尽的有几对？（2）使其和大于100，不同的取法有多少对？参考答案：一、选择题1、B 2、A 3、C 4、B 5、C 6、B 7、C 8、A 9、B 10、 D 二、填空题1.10【提示】 2.16【提示】 3.240【提示】分三类，第一类是不选甲、乙两人，有种，第二类是甲、乙两人中选一人，有种，第三类是选甲、乙两人，有种4.130【提示】 分两类，第一类是配成两双，有种，第二类是配成一双，有5.256【提示】 6.90【提示】 7.2880【提示】 8.15【提示】 三、解答题1、（1）378 （2）840 （3）842、（1）56 （2）840 （3）560 （4）143、（1）8400 （2）720 （3）1800 （4）25204、（1）2211 （2）2500- 11 - 版权所有高考资源网