1、31不等关系1.了解日常生活中存在的不等关系2.理解不等式的性质及应用3掌握在具体的实际问题中归纳出数学模型及应用不等式的性质解题1不等式的定义(1)不等号有：，或(2)定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式(3)不等式所表示的关系是不等关系2实数的运算性质(1)两实数a，b的大小与它们差的符号的关系如果ab0，那么ab如果ab，那么ab0如果ab0，那么ab如果ab，那么abb，那么ba；如果bb，即abbb，bc，那么ac，即ab，bcac.性质3(可加性)：如果ab，那么acbc.性质4(可乘性)：如果ab，c0，那么acbc，如果ab，c0，那么acb，cd，那么acbd.性质6(乘法
2、法则)：如果ab0，cd0，那么acbd.性质7(乘方法则)：如果ab0，那么anbn(nN，n1)性质8(开方法则)：如果ab0，那么(nN，n2)1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)不等式x2的含义是指x不小于2.()(2)若ab，则acbc一定成立()(4)若acbd，则ab，cd.()解析：(1)正确不等式x2表示x2或x2，即x不小于2.(2)正确不等式ab表示ab或ab.故若ab，则acbc不一定成立(4)错误取a4，c5，b6，d2，满足acbd，但不满足ab.答案：(1)(2)(3)(4)2已知ab0，b0，bb0，abb0ba，即abba.答案：abba
3、3设a，bR，当ab和同时成立时，a，b必须满足的条件是_解析：由0，及ba0知abb，所以b0a.答案：b0a4当x1时，x3与x2x1的大小关系为_解析：因为x3(x2x1)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)又因为x1，故(x1)(x21)0，所以x3(x2x1)0，即x3x2x1.答案：x3x2x1用不等式(组)表示不等关系学生用书P43某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t需消耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品1 t需消耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t工厂现有A种矿石300 t、B种矿石200 t、煤360 t，写出满足上述所
4、有不等关系的不等式(组)【解】设工厂可以生产甲、乙两种产品分别为x t，y t.由题意知，有如下不等关系：(1)消耗A种矿石总量不超过300 t；(2)消耗B种矿石总量不超过200 t；(3)煤的消耗量不超过360 t；(4)甲、乙两种产品数量均为非负数所以列不等式组为(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路读懂题意，找准不等式所联系的量用适当的不等号连接多个不等关系用不等式组表示(2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示 1.(1)雷电的温度大约是28
5、 000 ，比太阳表面温度的4.5倍还要高设太阳表面温度为t ，那么t应满足的关系式是_(2)A、B两种药片的有效成分如下表所示：成分药片阿司匹林(mg)小苏打(mg)可待因(mg)A(1片)251B(1片)176若要求至少提供12 mg阿司匹林，70 mg小苏打和28 mg可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式(组)的形式表示出来解：(1)由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 t28 000.故填4.5 t0，试比较a与的大小【解】因为a，因为a0，所以当a1时，0，有a；当a1时，0，有a；当0a1时，0，有a1时，a；当a1时，a；当0a1时，a.若a
6、0，试比较a与的大小解：因为a，所以当a1时，0，有a；当a1时，0，有a；当1a0，有a.综上，当a1时，a；当a1时，a；当1a.(1)作差法比较大小的步骤及变形方法作差法比较的步骤：作差变形定号结论变形的方法：a.因式分解；b.配方；c.通分；d.对数与指数的运算性质；e.分母或分子有理化；f.分类讨论 (2)作商法比较大小的步骤及适用范围作商法比较大小的三个步骤：a作商变形；b与1比较大小；c得出结论作商法比较大小的适用范围：a要比较的两个数同号；b比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法2.已知x0.求证：.证明：因为bcad0，所以adbc，因为bd0，所以，所
7、以11，所以.1ab和ab的含义(1)不等式ab应读作：“a大于或等于b”，其含义是ab或ab，等价于“a不小于b”，即若ab或ab中有一个正确，则ab正确(2)不等式ab应读作：“a小于或等于b”，其含义是ab或ab，等价于“a不大于b”，即若abac2bc2；若无c0这个条件，则abac2bc2就是错误的，当c0时，ac2bc2.(3)在应用性质5时，要特别注意两个不等式必须是同向的(4)在应用性质6时，不仅要注意两个不等式必须是同向的，而且要求同为正数(5)在应用性质7和8时，一方面要注意ab0，另一方面要注意n的取值例如：当n1，a3，b2时，若用性质7，则会出现“3121，即”的错误
8、一报刊亭摊主从报社买进某种报纸的价格是每份0.2元，卖出的价格是每份0.3 元，卖不掉的报纸以每份0.08元的价格退回报社在一个月(按30天计算)里，有20天每天可卖出400份报纸，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进的份数必须相同试计算他应该每天从报社买进多少份报纸，才能使一个月所得利润超过600元？试用不等式表示这一问题，不需解答解设每天从报社买进x份报纸(250x400)，则每月销量为(20x10250)份，退回报社10(x250)份卖出的报纸每份可赚得0.1元，退回的报纸每份损失0.12元每月获得的利润为0.1(20x10250)0.1210(x250)0.8x550，所以
9、0.8x550600(250x400)(1)利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，常常因忽略题目中的隐含条件而导致错误(2)全面正确地理解题意、合理地列出不等关系关注应用问题的实际意义及约束条件，是正确解题的关键1某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示为_解析：“不低于”即“”，“高于”即“”，“超过”即“”，所以答案：2若0，则下列不等式：ab|b|；ab中，正确的不等式有_个解析：由0，得a0，b0，故ab0，所以abab，即正确；由，两边同乘|ab|，得 |b|a|，故错误；由知|b|a|，a0，bb，
10、故错误答案：13已知a，b均为实数，则(a3)(a5)_(a2)(a4)(填“”“”或“”) .解析：因为(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70，所以(a3)(a5)(a2)(a4)答案：0，所以a222a.答案：a222a3用不等式表示出如图所示函数图象之间的关系为：_解析：g(x)的图象恒在f(x)的图象的上方，即g(x)x21的函数值总是大于f(x)的函数值，故不等关系为x21(或g(x)f(x)答案：x21(或g(x)f(x)4已知0a，且M，N，则M，N的大小关系是_解析：因为0a0，1b0，1ab0，所以MN0，即MN.答案：MN5给出四个条件：b0a；
11、0ab；a0b；ab0，其中能得出成立的是_解析：由，可得0，即0，故可推出2 200.若每天行驶(x12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，写成不等式为8x9(x12)答案：8(x19)2 2008x9(x12)8已知1xy4，且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(用区间表示)解析：设2x3y(xy)(xy)，则()x()y2x3y，所以解得所以z(xy)(xy)因为1xy4，所以2(xy).因为2xy3，所以5(xy).得，3(xy)(xy)8，所以z的取值范围是3，8答案：3，89(1)已知x1，比较3x3与3x2x1的大小；(2)若1ab0，所以(x1)(3x2
12、1)0，所以3x33x2x1.(2)因为1abb0，所以a2b20.因为ab0，所以ab，所以a2b2.10(1)已知ab0，求证：b，0.证明：(1)由于，因为ab0，所以ba0，ab0，所以0，故.(2)因为，所以0，即b，所以ba0.B能力提升1若规定adbc，则与的大小关系为_(a，bR，且ab)解析：aa(b)bab(a)ba2b22ab(ab)20(因为ab)，所以.答案：2若xy，ab，则在axby；axby；axby；xbya；，这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是_解析：令x2，y3，a3，b2，符合题设条件xy，ab.因为ax3(2)5，by2(3)5，所以axby，因
13、此不成立；又因为ax6，by6，所以axby，因此不成立；又因为1，1，所以，因此不成立由不等式的性质可推出成立答案：3已知mR，ab1，f(x)，试比较f(a)与f(b)的大小解：f(x)m，f(a)m，f(b)m.由ab1，知a1b10.所以，所以10时，mm，f(a)f(b)(2)当m0时，f(a)f(b)0.(3)当mm，f(a)f(b)综上所述，当m0时，f(a)f(b)；当m0时，f(a)f(b)；当mf(b)4(选做题)设f(x)ax2bx，1f(1)2，2f(1)4，求f(2)的取值范围解：法一：设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)(mn)a(nm)b，于是得，解得，所以f(2)3f(1)f(1)又因为1f(1)2，2f(1)4，所以53f(1)f(1)10，故f(2)的取值范围是5，10法二：由，得，所以f(2)4a2b3f(1)f(1)又因为1f(1)2，2f(1)4，所以53f(1)f(1)10，故f(2)的取值范围是5，10