1、32.2对数函数第1课时对数函数的概念、图象及性质1.了解对数函数的概念2.会画对数函数的图象，记住对数函数的性质3掌握对数函数图象和性质的应用 学生用书P521对数函数的概念一般地，函数ylogax(a0，a1)叫做对数函数，对数函数的定义域是(0，)，值域为(，)2对数函数的图象与性质定 义ylogax(a0且a1)底 数a10a0值 域R单调性增函数减函数共点性图象过点(1，0)，即loga10函数值x(0，1)时，y(，0)；x1，)时，y0，)x(0，1)时，y(0，)；x1，)时，y(，0对称性函数ylogax与ylogx的图象关于x轴对称趋 势a值越大图象越靠近x，y轴a值越小图
2、象越靠近x，y轴x趋于零，y趋于；x趋于，y趋于x趋于零，y趋于；x趋于，y趋于3.yax称为ylogax的反函数，反之，ylogax也称为yax的反函数，一般地，如果函数yf(x)存在反函数，那么它的反函数记作yf1(x)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)ylog2x2与ylogx3都不是对数函数()(2)对数函数的图象一定在y轴右侧()(3)当0a1时，若x1，则ylogax的函数值都大于零()(4)函数ylog2x与yx2互为反函数()答案：(1)(2)(3)(4)2函数ylog4.3x的值域是_答案：R3函数y(a24a4)logax是对数函数，则a_答案：34函数f(x)lo
3、g5(1x)的定义域是_答案：x|x0，a1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b，c的值分别为_，_.【解析】(1)由底数对对数函数图象的影响，可知C4的底数C3的底数C2的底数0，a1时，loga10恒成立，所以loga(3b)0，所以b2，c2.【答案】(1)，(2)22(1)对数函数的性质可以结合图象去理解记忆(2)对数函数图象的画法有两种：一是描点法；二是通过图象变换画出 2.已知a0，且a1，则函数yax与yloga(x)的图象可能是()解析：选B.法一：若0a1，则函数yax的图象下降且过点(0，1)，而函数yloga(x)的图象上升且过点(1，0)，以上图象均不符合若a1，则函数
4、yax的图象上升且过点(0，1)，而函数yloga(x)的图象下降且过点(1，0)，只有B中图象符合法二：首先指数函数yax的图象只可能在x轴上方，函数yloga(x)的图象只可能在y轴左方，从而排除A，C；再看单调性，yax与yloga(x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合法三：如果注意到yloga(x)的图象关于y轴的对称图象为ylogax，又ylogax与yax互为反函数(图象关于直线yx对称)，则可直接确定选B.利用对数函数的单调性比较大小学生用书P53比较下面各组数中两个值的大小(1)log33.4，log38.5；(2)log0.21.8，log0.22.7；(3)log
5、a5.1，loga5.9(a0且a1)【解】(1)考察对数函数ylog3x，因为它的底数31，所以它在(0，)上是增函数，于是log33.4log38.5.(2)考察对数函数ylog0.2x，因为它的底数0.21，所以它在(0，)上是减函数，于是log0.21.8log0.22.7.(3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件并未明确指出底数a与1哪个大，因此要对底数a进行讨论：当a1时，函数ylogax在(0，)上是增函数，于是loga5.1loga5.9；当0a1时，函数ylogax在(0，)上是减函数，于是loga5.1loga5.9. (1)如果同底，可直接利用
6、单调性求解如果底数为字母，则要分类讨论(2)如果不同底，一种方法是化为同底对数，另一种方法是寻找中间变量 (3)如果不同底同真数，可利用图象的高低与底数的大小的关系解决或利用换底公式化为同底，再进行比较(4)若底数、真数都不相同，则常借助中间量1，0，1等进行比较3.比较下列各组数的大小：(1)log0.20.4，log0.20.3，log0.23；(2)log3，log3，log3；(3)log23，log45，log76.解：(1)因为函数ylog0.2x是区间(0，)上的单调减函数，且0.30.4log0.20.4log0.23.(2)因为函数f(x)log3x在(0，)上是增函数，又0
7、1，所以log3log3log30，即0，所以log3log3log451，而log76log771，故log76log452.答案 (2，)(1)解答本题只注意被开方数大于零，而忽视真数大于零(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1.若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义1下列函数表达式中，是对数函数的有()ylogx2；ylogax(aR)；ylog8x；yln x；ylogx(x2)A1个B2个C3个 D4个解析：选B.形如ylogax(a0且a1)的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有、，其他的均
8、不符合2函数y的定义域是()A(1，) B1，)C(1，1)(1，) D1，1)(1，)解析：选C.要使函数式有意义，需解得x1，且x1，故函数的定义域为(1，1)(1，)，故选C.3函数y2x的反函数为_解析：由对数函数ylogax(a0，a1)和yax(a0，a1)互为反函数知y2x的反函数为ylog2x.答案：ylog2x4若函数yloga(xa)(a0且a1)的图象过点(1，0)(1)求a的值；(2)求函数的定义域解：(1)将(1，0)代入yloga(xa)(a0且a1)中，有0loga(1a)，则1a1，所以a2.(2)由(1)知ylog2(x2)，x20，解得x2，所以函数的定义域
9、为x|x2学生用书P112(单独成册)A基础达标1若f(x)logax(a24a5)是对数函数，则a()A1B5C1或5 D1解析：选B.由对数函数的定义可知，解得a5.2已知alog0.60.5，bln 0.5，c0.60.5，则()Aabc BacbCcab Dcba解析：选B.alog0.60.5log0.60.61，bln 0.50，0c0.60.50.601，故acb.3函数ylg(x1)lg(x2)的定义域为M，函数ylg(x23x2)的定义域为N，则()AMN BNMCMN DMN解析：选A.ylg(x23x2)lg(x1)(x2)，所以或，即x2或x2或x2所以MN.4已知函数
10、f(x)loga(xm)的图象过点(4，0)和(7，1)，则f(x)在定义域上是()A增函数 B减函数C奇函数 D偶函数解析：选A.将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有解得a4和m3，则有f(x)log4(x3)由于定义域是x|x3，则函数不具有奇偶性很明显函数f(x)在定义域上是增函数5若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2x BClogx D2x2解析：选A.函数yax(a0，且a1)的反函数是f(x)logax，又f(2)1，即loga21，所以a2.故f(x)log2x.6下列四个数：0.20.1，log1.20.3，log
11、0.20.3，log0.20.5，由小到大的顺序为_解析：因为0.20.11，log1.20.30，0log0.20.5log0.20.3log0.20.21，所以log1.20.3log0.20.5log0.20.30.20.1.答案：log1.20.3log0.20.5log0.20.30，a1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)3xb的图象上，则b_解析：当x31，即x2时，对任意的a0，且a1都有yloga10，所以函数yloga(x3)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)3xb的图象上，则32b，所以b1.答案：18已知loga3logb30，则a，b的大小关系是_解析：因
12、为loga3logb30，所以a1，b1.由换底公式有0，所以log3blog3a0.所以ba.答案：ba9求下列函数的定义域：ylog3(3x)；ylog ；y；y .解：由3x0，得x0，所以函数ylog3(3x)的定义域为(0，)由0，得x，所以函数ylog 的定义域为.由x0及logx0得x0且x1，所以函数y的定义域为(0，1)(1，)log2(2x6)0，得2x61，即x，所以函数y的定义域为.10解不等式：loga(2x5)loga(x1)解：当a1时，原不等式等价于解得x4.所以原不等式的解集为x|x4当0a1时，原不等式等价于解得x1时，不等式的解集为x|x4；当0af(2)
13、，所以ab.答案：ab已知f(x)|lg x|，若ab1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是_解析：先作出函数ylg x的图象，再将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，这样，我们便得到了y|lg x|的图象，如图由图可知，f(x)|lg x|在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，于是ff(a)f(b)，而f|lg c|lg c|f(c)所以f(c)f(a)f(b)答案：f(c)f(a)f(b)已知函数f(x)log(2a1)(2x1)在区间上满足f(x)0，试求实数a的取值范围解：当x时，2x141.因为log(2a1)(2x1)0log(2a1)1，所以2a11，即2a2，解得a1.即实数a的取值范围是(1，)(选做题)已知函数f(x)log2.(1)求证：f(x1)f(x2)f；(2)若f1，f(b)，求f(a)的值解：(1)证明：左边log2log2log2log2.右边log2log2.所以左边右边(2)因为f(b)log2log2，所以f(b)log2，利用(1)可知：f(a)f(b)f，所以f(a)1，解得f(a).