1、22.2函数的奇偶性第1课时函数奇偶性的概念1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系3.会利用函数的奇偶性解决简单问题 学生用书P291奇、偶函数的含义(1)偶函数一般地，设函数yf(x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是偶函数(2)奇函数一般地，设函数yf(x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是奇函数(3)奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性2奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之
2、，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称()(2)函数f(x)x2的图象关于原点对称()(3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(1)f(1)，则函数f(x)一定是奇函数()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)0.()答案：(1)(2)(3)(4)2下列图象表示的函数具有奇偶性的是()答案：B3若函数yf(x)，x1，a(a1)是奇函数，则a_答案：14函数f(x)x4在定义域R
3、上是_函数(填“奇”或“偶”)答案：偶函数奇偶性的判断学生用书P30判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)x2(x22)；(3)f(x).【解】(1)函数f(x)的定义域为x|xR且x0，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数(2)因为xR，所以xR.又因为f(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)，所以f(x)为偶函数(3)显然函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法 (2)图象法注意对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式1.判断下列函
4、数的奇偶性：(1)f(x)|x1|x1|；(2)f(x) ；(3)f(x)；(4)f(x)解：(1)因为xR，所以xR，又因为f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)因为函数f(x)的定义域为1，1，关于原点对称，且f(x)0，又因为f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数(3)f(x)的定义域为1，0)(0，1即有1x1且x0，则1x1，且x0，又因为f(x)f(x)所以f(x)为奇函数(4)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x)1xf(
5、x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数奇、偶函数的图象学生用书P31已知奇函数f(x)的定义域为5，5，且在区间0，5上的图象如图所示(1)画出函数f(x)在区间5，0上的图象；(2)写出使f(x)0的x的取值集合【解】(1)因为函数f(x)是奇函数，所以yf(x)在5，5上的图象关于原点对称由yf(x)在0，5上的图象，可知它在5，0上的图象，如图所示(2)由图象知，使函数值y0即f(x)0的x的取值集合为(2，0)(2，5)1变问法在本例条件下，试比较f(3)与f(3)的大小解：由图象可知f(3)0，f(3)0，故f(3)f(3)2变条件将本例中的“奇
6、函数”改为“偶函数”，试画出在区间5，0上的图象解：因为函数f(x)是偶函数，所以yf(x)在5，5上的图象关于y轴对称由yf(x)在0，5上的图象可知它在5，0上的图象，如图所示巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性(2)作出函数在0，)(或(，0)上对应的图象(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(，0(或0，)上对应的函数图象注意作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(x0，y0)，关于y轴的对称点为(x0，y0)2.已知函数yf(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)0的所有实根之和是()A4B2C1 D0解析：选D.因
7、为f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.利用函数的奇偶性求参数学生用书P31(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，且定义域为a1，2a，则a_，b_(2)若已知函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，且f，求函数f(x)的解析式【解】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x2bxb1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b0.故填，0.(2)因为f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，所以f(0)0，即0，所以b0.又因为f，所以a1，所以f(x).利用奇偶性求参数的常见类型及策略(
8、1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数 (2)解析式含参数：根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比较系数即可求解3.(1)若f(x)(ax1)(xa)为偶函数，且函数yf(x)在x(0，)上单调递增，则实数a的值为()A1B1C1 D0(2)已知函数f(x)是奇函数，则a_解析：(1)因为f(x)(ax1)(xa)ax2(1a2)xa为偶函数，所以1a20.所以a1.当a1时，f(x)x21，在(0，)上单调递增，满足条件；当a1时，f(x)x21，在(0，)上单调递减，不满足(2)因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)0，即
9、(a1)(11)0，故a1.答案：(1)C(2)11函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点(1)定义域：奇、偶函数的定义域关于原点对称(2)对应关系：奇函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)；偶函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)2函数奇偶性的三个关注点(1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空集合(3)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数注意函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称3奇、
10、偶函数图象的特征(1)奇函数：图象关于原点对称，反之，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数(2)偶函数：图象关于y轴对称，反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数1下列函数为奇函数的是()Ayx22Byx，x(0，1Cyx3x Dyx31解析：选C.对于A，f(x)(x)22x22f(x)，即f(x)为偶函数；对于B，定义域不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数；对于C，定义域为R，且f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，故f(x)为奇函数；对于D，f(x)x31f(x)且f(x)f(x)，故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数2若函数f(x)(m1)x
11、2(m2)x(m27m12)为偶函数，则m的值是()A1 B2C3 D4解析：选B.因为函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数，所以f(x)f(x)，即(m1)x2(m2)x(m27m12)(m1)x2(m2)x(m27m12)，即m2m2，解得m2.3已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)_解析：当x0时，f(x)x2，所以f(1)112.又f(x)为奇函数，所以f(1)2.答案：24奇函数f(x)在区间0，)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为_解析：奇函数的图象关于原点对称，可知函数f(x)的增区间为(，1，1，)答案：(，1，1，)5已知函
12、数f(x)x，且f(1)3.(1)求m的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性解：(1)由题意知，f(1)1m3，所以m2.(2)由(1)知，f(x)x，x0.因为f(x)(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数学生用书P97(单独成册)A基础达标1下列函数是偶函数的是()Ay2x23Byx5Cyx2，x0，1 Dyx解析：选A.对A：f(x)2(x)232x23f(x)，所以f(x)是偶函数，B、D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.2函数f(x)x的图象()A关于y轴对称B关于直线yx对称C关于坐标原点对称D关于直线yx对称解析：选C.因为f(x)的定义域为(，0)
13、(0，)，关于原点对称，且f(x)(x)xf(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称3若函数f(x)ax2(a2b)xa1是定义在(a，0)(0，2a2)上的偶函数，则f()A1 B3C. D解析：选B.因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a2a20，解得a2.又偶函数不含奇次项，所以a2b0，即b1，所以f(x)2x21.于是ff(1)3.4设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)f(x)f(x)在R上一定()A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数解析：选A.F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)F(x)，符合奇函数的定义5(2019武汉模拟)如
14、图，给出奇函数yf(x)的局部图象，则f(2)f(1)的值为()A2 B2C1 D0解析：选A.由图知f(1)，f(2)，又f(x)为奇函数，所以f(2)f(1)f(2)f(1)2.故选A.6已知函数f(x)是奇函数，则实数b_解析：法一(定义法)：因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即，整理得，所以xb(xb)，即2b0，解得b0.法二(赋值法)：因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)，即，即，解得b0.法三(赋值法)：因为f(x)为奇函数，且函数的定义域为R，所以f(0)0，即0，解得b0.答案：07如果函数y是奇函数，则f(x)_解析：设x0，所以2(x)32x3.又原函数为
15、奇函数，所以f(x)(2x3)2x3.答案：2x38(2019保定高一检测)函数f(x)ax3bx5，满足f(3)2，则f(3)的值为_解析：因为f(x)ax3bx5，所以f(x)ax3bx5，即f(x)f(x)10.所以f(3)f(3)10，又f(3)2，所以f(3)8.答案：89判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3，xR；(2)f(x)5x44x27，x3，3；(3)f(x)|2x1|2x1|；(4)f(x)解：(1)因为f(x)3f(x)，所以函数f(x)是偶函数(2)因为x3，3，f(x)5(x)44(x)275x44x27f(x)，所以函数f(x)是偶函数(3)因为f(x)|2x1
16、|2x1|(|2x1|2x1|)f(x)，所以函数f(x)是奇函数(4)当x0时，f(x)1x2，此时x0，所以f(x)(x)21x21，所以f(x)f(x)；当x0，f(x)1(x)21x2，所以f(x)f(x)；当x0时，f(0)f(0)0.综上，对xR，总有f(x)f(x)，所以函数f(x)为R上的奇函数10(1)如图，给出奇函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值(2)如图，给出偶函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小解：(1)由奇函数的性质可作出yf(x)在y轴右侧的图象，图为补充后的图象易知f(3)2.(2)由偶函数的性
17、质可作出yf(x)在y轴右侧的图象，图为补充后的图象易知f(1)f(3)B能力提升1设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.依题意得对任意xR，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x
18、)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错故选C.2已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)()A3 B1C1 D3解析：选C.因为f(x)g(x)x3x21，所以f(x)g(x)x3x21，又由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，所以f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)1，故选C.3设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、bR，当ab0时，都有0.(1)若ab，试比较f(a)与f(b)的大小关系
19、；(2)若f(1m)f(32m)0，求实数m的取值范围解：(1)因为ab，所以ab0，由题意得0，所以f(a)f(b)0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(b)f(b)，所以f(a)f(b)0，即f(a)f(b)(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，因为f(1m)f(32m)0，所以f(1m)f(32m)，即f(1m)f(2m3)，所以1m2m3，所以m4.所以实数m的取值范围为(，44(选做题)已知奇函数f(x)(1)求实数m的值，并画出yf(x)的图象；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，试确定a的取值范围解：(1)当x0，f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)x22x，所以f(x)x22x，所以m2.yf(x)的图象如图所示(2)由(1)知f(x)由图象可知，f(x)在1，1上单调递增，要使f(x)在1，a2上单调递增，只需解得1a3.
