1、第一节 坐标系1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2了解极坐标的概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称xx 0yy 0伸缩变换2极坐标系在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个单位长度及计算角度的合 称为一个极坐标系O点称为极点，Ox称为极轴平面上任一点M的位
2、置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画(如右图所示)这两个数组成的称 为 点 M 的 极 坐标称为极径，称为极角正方向有序数对(，)3极坐标与直角坐标的转化设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由右图可知下面的关系式成立：顺便指出，上式对0也成立这就是极坐标与直角坐标的互化公式4柱坐标系与球坐标系设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点在xOy坐标面上的投影为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为(，)，则三个有序数、z构成的称为空间中点M的柱坐标在柱坐标中，限定0,00 所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为 k 向着 y 轴的伸缩变换(当 k1 时，表示伸长；
3、当 0k1 时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍(这里，P(x，y)是变换前的点，P(x，y)是变换后的点)例 1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 x13x，y12y后的图形是什么形状？(1)y22x；(2)x2y21.课堂记录 由伸缩变换x13x，y12y，可知x3x，y2y.(1)将x3x，y2y代入 y22x，可得 4y26x，即 y232x.即伸缩变换之后的图形还是抛物线(2)将x3x，y2y代入 x2y21，得(3x)2(2y)21，即x219y2141，即伸缩变换之后的图形为焦点在 y 轴上的椭圆思维拓展 要用运动变化的观点看
4、待伸缩变换问题，在本题中，圆通过伸缩变换变成了椭圆，体现了事物之间的联系即时训练 求直线 5x2y0 经过伸缩变换x12x，y13y后的图形解：由伸缩变换x12x，y13y，得x2x，y3y.将上式代入 5x2y0 中，得 10 x6y0，即 5x3y0.所以经过伸缩变换后，直线 5x2y0 仍然是直线 热点之二 极坐标系与直角坐标系的互化直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只需把公式xcos及ysin直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos，sin，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法
5、但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验例 2 在极坐标系中，已知三点 M(2，53)，N(2,0)，P(2 3，6)(1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标(2)判断 M、N、P 三点是否在一条直线上课堂记录(1)由公式：xcosysin，M 的直角坐标为(1，3)，N 的直角坐标为(2,0)，P 的直角坐标为(3，3)(2)kMN321 3，kNP 3032 3，kMNkNP，M、N、P 三点在同一条直线上思维拓展 解决有关共线等问题关键是先求出点或曲线在直角坐标系中所对应的坐标或方程即时训练在极坐标系中，P 是曲线 12sin 上的动点，Q 是曲线 12co
6、s(6)上的动点，试求 PQ 的最大值解：以极点 O 为原点，极轴为 x 轴，建立直角坐标系 xOy 将 12sin化为 x2y212y12cos(6)化为(x3 3)2(y3)236则 P、Q 所在直线为连心线所在直线时 PQ 长度可取最值且最大值为 3 32326618.热点之三 极坐标方程及其应用求曲线的极坐标方程的基本步骤第一步建立适当的极坐标系；第二步在曲线上任取一点P(，)；第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步用极坐标，表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步证明所得的方程是曲线的极坐标方程例3 设点P的极坐标为(1，1)，直线l过点P且与极轴所成的角为，求直线l的极坐
7、标方程思路探究 从直线l任取异于P的一点M(，)将，与已知条件置于MOP中利用正弦定理求得课堂记录 如右图所示，设M(，)为直线l上除点P外的任意一点，连接OM，则|OM|，xOM.由点P的极坐标为(1，1)，知|OP|1，xOP1.设直线 l 与极轴交于点 A，已知直线 l 与极轴成 角，于是xAM.在MOP 中，OMP，OPM(1)，由正弦定理，得|OM|sinOPM|OP|sinOMP，即sin11sin，即 sin()1sin(1)显然，点 P 的坐标(1，1)是方程xcosysin的解因此，方程为直线 l 的极坐标方程即时训练在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为(3，3)，半径为 3，
8、Q 点在圆周上运动(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)若 P 是 OQ 中点，求 P 的轨迹解：(1)圆的极坐标方程为 6cos(3)(2)若 P 的极坐标为(，)，则 Q 点的极坐标为(2，)26cos(3)，3cos(3)，P 的轨迹是圆以解答题的形式考查平面直角坐标系中的伸缩变换、极坐标与直角坐标的互化，以及直线、圆的极坐标方程的应用，是高考对本节内容的常规考法.2010年江苏高考以解答题的形式考查了曲线的极坐标方程的应用，是一个新的考查方向例4(2010江苏高考)在极坐标系中，已知圆2cos与直线3cos4sina0相切，求实数a的值解 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2y
9、22x，即(x1)2y21，直线的方程为3x4ya0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为 1，即有|3140a|32421，解得 a8 或 a2.故 a 的值为8 或 2.1(2010北京)极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是()A两个圆B两条直线C一个圆和一条射线D一条直线和一条射线解析：(1)()0(0)，1或(0)1表示圆心在原点，半径为1的圆，(0)表示x轴的负半轴，是一条射线，故选C.答案：C2(2010湖南高考)极坐标方程 cos 和参数方程x1t，y23t(t为参数)所表示的图形分别是()A圆、直线 B直线、圆C圆、圆D直线、直线答案：A解析：由 cos 得 2cos，x2y2x，整理得(x12)2y214，所表示的图形为圆由x1t，y23t得x1t，y23t，消 t 得 3xy10，所表示的图形为直线，故选 A.3(2010陕西高考)已知圆 C 的参数方程为xcos，y1sin(为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为_解析：圆 C 的直角坐标方程为 x2(y1)21，直线 l 的直角坐标方程为 y1.x2y121，y1x1，y1或x1，y1.l 与C 的交点的直角坐标为(1,1)，(1,1)答案：(1,1)，(1,1)