1、2.3.2空间两点间的距离学 习 目 标核 心 素 养1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程(重点)2.会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离(难点)通过学习本节内容提升学生的直观想象、数学运算核心素养.1空间两点间的距离公式(1)平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为P1P2特别地，点A(x，y)到原点距离为OA(2)空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的距离公式是P1P2特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为OA2空间两点的中点坐标公式连结空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的线段P1P
2、2的中点M的坐标为1点P(2，1，1)到原点的距离为_PO.2给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4，1，2)的距离为，则该点的坐标为_(9，0，0)或(1，0，0)设点P的坐标是(x，0，0)，由题意得，P0P，即，(x4)225，解得x9或x1.点P的坐标为(9，0，0)或(1，0，0)3若O为原点，P点坐标为(2，4，6)，Q为OP中点，那么Q点的坐标为_(1，2，3)设Q(x，y，z)，则x1，y2，z3，Q(1，2，3)4如图，在长方体OABCO1A1B1C1中，OA2，AB3，AA12，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是_OA2，AB3，AA12，O(0，0，
3、0)，B1(2，3，2)又M为OB1的中点，M.空间中两点间距离的计算【例1】如图，已知正方体ABCDABCD的棱长为a，M为BD的中点，点N在AC上，且AN3NC，试求MN的长思路探究：解答本题关键是先建立适当坐标系，把M，N两点的坐标表示出来，再利用公式求长度解以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为正方体的棱长为a，所以B(a，a，0)，A(a，0，a)，C(0，a，a)，D(0，0，a)由于M为BD的中点，取AC的中点O，所以M，O.因为AN3NC，所以N为AC的四等分点，从而N为OC的中点，故N，根据空间两点距离公式，可得MNa.利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤(1
4、)建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；(2)代入空间两点间的距离公式求值1已知ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)(1)求ABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度解(1)由空间两点间距离公式得AB3，BC，AC，ABC中最短边是BC，其长度为.(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为.AC边上中线的长度为.确定空间点的坐标探究问题1在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是什么？提示设M(0，a，0)，由已知得MAMB，即，解得a1，故M(0，1，0)2方程(x1)2(y2)2(z
5、3)225的几何意义是什么？提示依题意5，点(x，y，z)是空间中到点(1，2，3)距离等于5的点，即以点(1，2，3)为球心，以5为半径的球面【例2】已知A(x，5x，2x1)，B(1，x2，2x)，求AB取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的AB的长度思路探究：解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB关于x的函数，由函数的性质求x，再确定坐标解由空间两点间的距离公式得AB，当x时 ，AB有最小值，此时A，B.解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标2.如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，A
6、BEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a)(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小解以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且CMBNa(0a)，易得点M，N的坐标分别为M，N.(1)|MN|(0a)(2)MN，当a时，MN的长最小，且最小值为.1本节课的重点是理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式和中点坐标公式及其简单应用难点是空间直角坐标系的恰当建立及求相关点的坐标2本节课要重点掌握的规律方法(1)求空间中对称点坐标的规律(2)空间两点
7、间距离公式的应用3本节课的易错点是空间两点间距离的求解运算1已知A(1，1，1)，B(3，3，3)，则线段AB的长为()A4B2C4D3AAB4.2已知ABC三个顶点的坐标分别为A(3，1，2)，B(4，2，2)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为_B(4，2，2)，C(0，5，1)，BC的中点为，BC边上的中线长为.3已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且AB2，则实数x的值是_2或6由题意得2，解得x2或x6.4已知A(1，2，11)，B(4，2，3)，C(6，1，4)为三角形的三个顶点，求证：三角形ABC为直角三角形证明由空间两点间的距离公式得AB，BC，AC，AB2BC2AC2，ABC为直角三角形，C为直角