1、2.2.3圆与圆的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1.能根据两个圆的方程，判断两圆的位置关系(重点)2.当两个圆有公共点时能求出它们的公共点，能运用两圆的位置关系解决有关问题(易错点)3.了解两圆相交时公共弦所在直线的求法；了解两圆公切线的概念，会判断所给直线是不是两圆的公切线(难点)通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.圆与圆的位置关系1几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|2.代数法：通过两圆方程组成
2、方程组的公共解的个数进行判断1.思考辨析(1)两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交()(2)若两个圆没有公共点，则两圆一定外离()(3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立()(4)若两圆有公共点，则|r1r2|dr1r2.()答案(1)(2)(3)(4)2两圆x2y26x4y0及x2y24x2y40的公共弦所在的直线方程为_xy20联立得：xy20.3圆x2y21与圆x2y22x2y10的交点坐标为_(1，0)和(0，1)由解得或4圆C1：x2y24x4y70和圆C2：x2y24x10y130的公切线有_条3圆C1的圆心坐标为C1(2，2)，半径r11.圆C2的圆心坐标为C
3、2(2，5)，半径r24.|C1C2|5，r1r25，两圆外切故公切线有3条两圆位置关系的判定【例1】已知圆C1：x2y22mx4ym250，与圆C2：x2y22x0.(1)m1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？思路探究：(1)参数m的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r1r2和|r1r2|的大小关系(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则圆心距d|r1r2|.解(1)m1，两圆的方程分别可化为：C1：(x1)2(y2)29.C2：(x1)2y21.两圆的圆心距d2，又r1r2314，r1r2312，r1r2dr1r2，所以圆C
4、1与圆C2相交(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则31，即(m1)20)试求a为何值时两圆C1，C2(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含解对圆C1，C2的方程，经配方后可得：C1：(xa)2(y1)216，C2：(x2a)2(y1)21，圆心C1(a，1)，r14，C2(2a，1)，r21，|C1C2|a，(1)当|C1C2|r1r25，即a5时，两圆外切，当|C1C2|r1r23，即a3时，两圆内切(2)当3|C1C2|5，即3a5，即a5时， 两圆外离(4)当|C1C2|3，即0a0)和C2：(x2)2y21，那么a取何值时C1与C2相外切？提示由|C1C2|a1，得a12
5、，a1.2若将探究1中，C2的方程改为(x2)2y2r2(r0)，那么a与r满足什么条件时两圆相切？提示若两圆外切，则ar|C1C2|2，即ar2时外切若两圆内切，则|ra|C1C2|2.ra2或ar2.【例3】已知圆C1：x2y24x4y50与圆C2：x2y28x4y70.(1)证明：圆C1与圆C2相切，并求过切点的公切线的方程；(2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程思路探究：(1)证明|C1C2|r1r2，两圆方程相减得公切线方程(2)由圆系方程设圆的方程，将已知点代入解(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x2)2(y2)213，(x4)2(y2)213；圆心
6、与半径长分别为C1(2，2)，r1；C2(4，2)，r2，因为|C1C2|2r1r2，所以圆C1与圆C2相切由得12x8y120，即3x2y30，这就是过切点的两圆公切线的方程(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x2y24x4y5(3x2y3)0.点(2，3)在此圆上，将点坐标代入方程解得.所以所求圆的方程为x2y24x4y5(3x2y3)0，即x2y28xy90.两圆相切有如下性质(1)设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则两圆相切(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算3求与圆C：x2y
7、22x0外切且与直线l：xy0相切于点M(3，)的圆的方程解圆C的方程可化为(x1)2y21，圆心C(1，0)，半径为1.设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，由题意可知解得或所以所求圆的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.1本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，能利用直线与圆的方程解决平面几何问题难点是利用方程判断圆与圆的位置关系2本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两圆位置关系的方法及应用(2)求两圆公共弦长的方法3本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解1圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)
8、29的位置关系为()A相离B相切C相交D内含C两圆圆心分别为(2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d.32dr1r2134，即4，解得m或m.3半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2(y3)21内切，则此圆的方程为_(x4)2(y6)236设圆心坐标为(a，b)，由题意知b6，5，可以解得a4，故所求圆的方程为(x4)2(y6)236.4已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230，m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切；(2)圆C1与圆C2内含解将圆C1，圆C2化为标准形式得C1：(xm)2(y2)29，C2：(x1)2(ym)24.则C1(m，2)，C2(1，m)，r13，r22，C1C2.(1)当圆C1与圆C2外切时，有r1r2C1C2，则5，解得m5或2，即当m5或2时，两圆外切(2)当圆C1与圆C2内含时，C1C2r1r2，1，即m23m20.f(m)m23m2的图象与横坐标轴的交点是(2，0)，(1，0)，由m23m20，可得2m1，即当2m1时，两圆内含