1、山西省大同市第一中学2020届高三数学下学期3月月考试题 文（含解析）本试卷共6页，23题(含选考题)，全卷满分150分.考试用时120分钟.祝考试顺利注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答
2、题区域内，写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一选择题：本大题共12小题，每小題5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2.若复数满足，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简得到，得到复数虚部.【详解】，则，故复数的虚部为.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.3.下
3、列命题中，真命题是（ ）A. 若，则；B. 命题“”的否定是“”；C. “”是“”的充分不必要条件；D. 对任意【答案】C【解析】【分析】根据向量模，命题的否定，必要不充分条件，均值不等式依次判断每个选项得到答案.【详解】取，则满足，错误；命题“”的否定是“”，错误；当时，充分性；当时，取，不满足，故不必要，正确；取，错误；故选：.【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的计算能力和推断能力.4.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【
4、分析】计算，则，计算得到答案.【详解】，故，则，故.故选：B.【点睛】本题考查了回归方程的中心点，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合若点是角终边上一点，则（ ）A. -2B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用两角差的正切公式，求得的值【详解】解：点是角终边上一点，则，故选B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，属于基础题6.已知双曲线虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 3C. D. 【答案】A【解析】【分析】写出一条渐
5、近线的方程，一个虚轴端点坐标，由点到直线距离公式得的关系，然后再得，得离心率【详解】双曲线虚轴一个端点为，一条渐近线方程为，即，又，离心率为故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出，7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图所示，三视图的直观图为边长为1的正方体中的，计算，得到体积.【详解】如图所示：三视图的直观图为边长为1的正方体中的，故外接球的半径为，故.故选：.【点睛】本题考查了根据三视图求外接球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，
6、再把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到的图象对应的函数为奇函数，则最小值为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简，故，解得答案.【详解】，平移后得到的函数为，函数为奇函数，故，故，故当时，最小值为.故选：.【点睛】本题考查了三角函数平移，根据三角函数奇偶性求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.9.巳知圆锥的底面圆心为，为圆锥的两条母线，且与圆锥底面所成的角为，则与平面所成的角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】如图所示，为中点，连接，设底面半径为，为与平面所成的角，计算得到答案.【详解】如图所示：为中点，连接，设底面半径为，与圆锥底
7、面所成的角为，故，故为等边三角形，故，易知，故平面，故为与平面所成的角，.故选：.【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生计算能力和空间想象能力.10.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形若直角三角形中较小的锐角，现在向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由解三角形得：直角三角形中较小的直角边长为1，由，得此直角三角形另外两直角边长为，进而得小正
8、方形的边长和大正方形的边长，由几何概型中的面积型得解【详解】设直角三角形中较小的直角边长为1，则由直角三角形中较小的锐角，得此直角三角形另外直角边长为，斜边长，则小正方形的边长为，大正方形的边长为，设“飞镖落在阴影部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：，故选A【点睛】本题考查几何概型中的面积型，解三角形、正方形面积公式属中档题11.定义在R上的偶函数满足，当时，设函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得函数与的图象都关于直线对称，作出两个函数图象，分析其交点情况即可得到答案.【详解】由题意，函数满足可知，函数的
9、图象关于直线对称，又函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，由函数可知，函数的图象关于直线对称，画出函数与的图象如图所示：设图中四个交点的横坐标为，由图可知，所以函数与的图象所有交点的横坐标之和为4.故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性、指数函数的图象与性质；考查数形结合思想和运算求解能力；利用函数的奇偶性和对称性作出函数图象是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.12.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，以为直径的圆分别与轴相切于点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】如图所示，直线：，联立方程得到，计算，得到答案.【详解】如图所示：，连接
10、，过点作于，直线：，故，故，.故，故.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中的面积问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则实数_.【答案】【解析】【分析】直接利用向量垂直公式计算得到答案.【详解】，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题.14.已知点满足约束条，则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】如图所示：画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.【详解】如图所示：画出可行域，则，故表示直线在轴截距的倍，根据图象，当直线过点时，即时有最大值为.故答案：.【点睛】本题考查了线性规划问
11、题，画出图象是解题的关键.15.已知内角的对边分别为，若，且为钝角，则_.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理得到，解得答案.【详解】，则，为钝角，即，故.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.如图，将张长为，宽为的长方形纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】设阴影部分长为，宽为，则，故，求导得到单调性得到最值.【详解】设阴影部分长为，宽为，则，则，则，故函数在上单调递增，在上单调递减，故.故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数其最值，意在考查学生
12、的计算能力和空间想象能力.三、解答题17.已知各项均为正数的等差数列满足：，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设的前项和为，令，求数列的前项和；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用等差数列等比数列公式计算得到答案.（2）计算，根据裂项相消法计算得到答案.【详解】（1）设公差为，由题意得，解得.（2），所以，.故数列的前项和.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项相消法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.如图，在四棱锥中，为平行四边形，平面，且，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接
13、交于点，连接，在中，得到证明.（2）计算，根据等体积法得到，计算得到答案.【详解】（1）连接交于点，连接，在中，是中点，是中点，又面，面，故面.（2），又，面，平面，在中，同理，在等腰三角形中，设到平面的距离为，由，得，即，解得，所以到平面的距离为.【点睛】本题考查了线面平行，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.19.在脱贫攻坚中，某市教育局定点帮扶前进村户贫困户.驻村工作队对这户村民的贫困程度以及家庭平均受教育程度进行了调査，并将该村贫困户按贫困程度分为“绝对贫困户”与“相对贫困户”，同时按家庭平均受教育程度分为“家庭平均受教育年限年”与“家庭平均受教育年限年”，具体调
14、査结果如下表所示：平均受教育年限年平均受教育年限年总计绝对贫困户104050相对贫困户203050总计3070100（1）为了参加扶贫办公室举办的贫困户“谈心谈话”活动，现通过分层抽样从“家庭平均受教育年限年”的户贫困户中任意抽取户，再从所抽取的户中随机抽取户参加“谈心谈话”活动，求至少有户是绝对贫困户的概率；（2）根据上述表格判断：是否有的把握认为贫困程度与家庭平均受教育程度有关？参考公式：参考数据：0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）（2）有95%的把握认为贫困程度与家庭平均受教育程度有关【解析】【分析】（1）通过分层抽样，相对贫
15、困户户，记为ABCD，绝对贫困户2户，记为EF，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率；（2）计算，得到答案.【详解】（1）通过分层抽样，相对贫困户户，记为ABCD，绝对贫困户2户，记为EF，从其中选2户参加谈心谈话活动的所有组合为：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15种，至少有一户是绝对贫困户有9种，至少有一户是绝对贫困户的概率为户.（2），由参考数据可知.所以有95%的把握认为贫困程度与家庭平均受教育程度有关.【点睛】本题考查了概率的计算，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知椭圆的离心率，直线与圆相切.（1）
16、求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，若在轴上的截距为，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据离心率得到，根据相切得到，得到答案.（2）设，中点，联立方程得到，计算得到，计算得到答案.【详解】（1）由题意得，即，直线与圆相切得，.故椭圆的方程是.（2）由题意得直线的斜率存在且不为零，设，中点，联立，消去并整理得，又，解得且，得，由，即，化简得，令得，解得或，由于且，故，直线的方程为，即.【点睛】本题考查了椭圆方程，直线和椭圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若时恒成立，求a的取值范围.【
17、答案】（1）见详解；（2）【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性（2）采用分离参数的方法，然后构造新的函数，根据导数研究新函数的单调性，并判断新函数的值域与a的关系，可得结果.【详解】（1）由，所以，则即，令，则或所以当或时，当时，所以函数的单调递增区间是的单调递减区间是（2）由，所以，即故由题意可知在成立令，即化简得所以当时，则函数在单调递减，所以所以【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性以及参数的范围问题，熟练掌握分离参数的方法，灵活构造函数，达到化繁为简，属中档题.(二)选考题：共10分.请考生在2223两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在极坐标系中，曲
18、线的极坐标方程为，点，以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线(为参数)与曲线交于两点.（1）若为曲线上任意一点，当最大时，求点的直角坐标；（2）求的值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根据极坐标公式得到曲线是以为圆心，半径为的圆，故，得到答案.（2）将直线的参数方程代入圆方程得到，计算得到答案.【详解】（1）由得，即，故曲线是以为圆心，半径为的圆.原点在圆上，故，易知，线段的中点为圆心点，点的直角坐标为.（2）由得，将代入并整理得：，设两点对应参数分别为，则，由参数t的几何意义得：，故.【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.23.已知.（1）将的解析式写成分段函数的形式，并求函数的值域；（2）若，对任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（1），值域为（2）【解析】【分析】（1）的解析式写成分段函数，画出图像得到答案.（2）利用均值不等式得到，解不等式得到答案.【详解】（1）由已知得，画出图像：根据图像知值域为.（2），.当且仅当时取“”号，即时等号成立.所以原不等式恒成立，只需，即，根据图像解得.【点睛】本题考查了绝对值函数的值域，均值不等式求最值，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
