1、第一节 相似三角形的判定及有关性质1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理2会证明和应用直角三角形射影定理1平行线等分线段定理定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段，那么在其他直线上截得的线段也相等相等推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必推论2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线2平行线分线段成比例定理定理 三条平行线截两条直线，所得的成比例推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的成比例平分第三边平分另一腰对应线段对应线段3相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定义，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(
2、或相似系数)预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似对应角相等判定定理1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似判定定理2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应且夹角相等，两三角形相似两个角成比例成比例判定定理3 对于任意两个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应，那么这两个三角形相似简述为：三边对应，两三角形相似(2)两个直角三角形相似的判定定理 如果两个直角三角形的一个锐角
3、对应，那么它们相似如果两个直角三角形的两条直角边对应，那么它们相似成比例成比例相等成比例如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应，那么这两个直角三角形相似(3)相似三角形的性质性质定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于；相似三角形周长的比等于；成比例相似比相似比相似三角形面积的比等于；相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的相似比的平方相似比的平方比例比例中项中项解析：由于ABA1B
4、1，则有AOBA1OB1，且对应边的相似比为1:2，那么两三角形对应的各线段之比均为1:2，则对应的外接圆的直径之比也是1:2，故A1OB1的外接圆直径为2.答案：21如右图，AA1与 BB1相交于点 O，ABA1B1且 AB12A1B1.若AOB的外接圆的直径为 1，则A1OB1 的外接圆的直径为_2如下图，ABCD 中，O1、O2、O3 是 BD 的四等分点，连结 AO1，并延长交 BC 于 E，连结 EO2 并延长交 AD 于 F，则ADFD_.答案：3解析：O2 是平行四边形 ABCD 的中心，O2EO2F，又 O2O1O2O3，O1EO3F，DFADO3DDO113.3在ABC中，D
5、，E分别为AB，AC上的点，且DEBC，ADE的面积是2 cm2，梯形DBCE的面积为6 cm2，则DEBC的值为_解析：ADEABC，利用面积比等于相似比的平方可得答案答案：1:24 如 右 图，已 知 在 ABC 中，CDAB 于 D 点，BC2 BDAB，则ACB_.解析：在ABC 与CBD 中，由 BC2BDAB，得BCBDABBC，且BB，所以ABCCBD.则ACBCDB90.答案：905如右图，已知在ABC中，ACB90，CDAB于D，AC6，DB5，则AD的长为_解析：在RtABC中，ACB90，CDAB，AC2ABAD.设ADx，则ABx5，又AC6，62x(x5)，即x25x
6、360.解得x4(舍去负值)，AD4.答案：4热点之一 平行线分线段成比例定理的应用1在与有关比例问题的证明中，要结合平行线分线段成比例定理，构造平行线进行解决2作平行线的方法：(1)利用中点作出中位线可得平行关系(2)利用已知线段的比例，作线段的平行线例 1 如图，梯形 ABCD 中，ADBC，EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EFAD.(1)求证：OEOF；(2)求OEADOEBC的值；(3)求证：1AD 1BC 2EF.思路探究(1)结合题目给出的条件，可利用平行线分线段成比例定理证明(2)结合图形和(1)的结论进行合理的代换(3)利用(2)的结论进行变形课堂记录(1)EFAD，ADB
7、C，EFADBC.EFBC，OEBCAEAB，OFBCDFDC.EFADBC，AEABDFDC.OEBCOFBC，OEOF.(2)OEAD，OEAD BEAB.由(1)知，OEBCAEAB，OEADOEBCBEABAEABBEAEAB1.(3)由(2)知OEADOEBC1，2OEAD 2OEBC 2.又 EF2OE，EFADEFBC2，1AD 1BC 2EF.即时训练如图，ABC 中，D 为 BC 中点，E 在 CA 上且 AE2CE，AD、BE 相交于点 F，求AFFD，BFFE.解：过点 D 作 DGAC 且交 BE 于点 G，因为点 D 为 BC 的中点，所以 EC2DG.因为 AE2C
8、E，所以AEDG41.从而AFFDAEDG41，所以GFFE14.因为 BGGE，所以BFFE32.热点之二 相似三角形的性质与判定定理的应用 三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例例2 如下图，已知ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E、F两点，证明AFADAGBF.思路探究 要证明等式 AFADAGBF，可先转化为AFAGBFAD，显然 AF、BF 两线段是ABF 的两边，而 AG、AD 恰好是ADG 的两边
9、，因此，应从判定相似三角形入手，由于四边形 ABCD 为平行四边形，所以 ABCG，即ABFGCF，又 ADCF，所以有GCFGDA，从而有ABFGDA.思维拓展 一般地，证明等积式成立，可先将其化成比例式，再根据三角形相似证明其成立三角形相似具有传递性，如果A1B1C1A2B2C2，A2B2C2A3B3C3，那么A1B1C1A3B3C3.本题就是利用其传递性来解决问题的课堂记录 因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 ABDC，ADBC.所以ABFGCF，GCFGDA.所以ABFGDA.从而有AFAGBFAD，即 AFADAGBF.即时训练如右图，BD、CE 是ABC 的高，求证：ADEA
10、BC.解：BD、CE 是ABC 的高，AECADB90，又AA，AECADB，ADABAEAC，又AA，ADEABC.热点之三 射影定理的应用1在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中“比例式”2证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法例3 一直角三角形的两条直角边之比是1:3，则它们在斜边上的射影的比是_课堂记录 如右图，在直角三角形ABC中，BC:AC1:3，作CDAB于D，由射影定理得BC2BDAB，AC2ADAB，则BC2AC2BDAD19，故它们在斜边上的射影的比是 1:9.故填 1:9.即时训练如下图所示，在ABC中，ADBC于D，CE是
11、中线，DCBE，DGCE于G，EC的长为4，则EG_.解析：连接 DE.因为 ADBC 于 D，所以ADB 是直角三角形，则 DE12ABBEDC.又因为 DGCE 于 G.所以 DG 垂直平分 CE，故 EG2.答案：2本考点主要考查相似三角形的判定与应用，属中档题.考查时多与圆的有关知识联系，涉及射影定理、相似比等基本知识.例 4(2010天津高考)如右图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P，若PBPA12，PCPD13，则BCAD的值为_解析 设 PBa，PCb，则 PA2a，PD3b，由割线定理，得PBPAPCPD，即 2a23b2，a 32b
12、.在PBC 中，BC2PB2PC22PBPCcosAPD32b2b22 32b2cosAPD52b2 6b2cosAPD，在APD 中，AD2PA2PD22PAPDcosAPD6b29b222 32 b3bcosAPD15b26 6b2cosAPDBC2AD252b2 6b2cosAPD15b26 6b2cosAPD16.BCAD 66.答案 661(2010辽宁高考)如右图，ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.(1)证明ABEADC；(2)若ABC 的面积 S12ADAE，求BAC 的大小(1)证明：由已知条件，可得BAECAD.因为AEB与ACB是同弧上的圆周角，所以AEBACD.故ABEADC.(2)解：因为ABEADC，则sinBAC1，又BAC为三角形内角，所以BAC90.所以ABAEADAC，即 ABACADAE.又 SABC12ABACsinBAC，且 SABC12ADAE，故 ABACsinBACADAE.