1、重难点02 三角函数与解三角形新高考中，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式 及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化。1、三角函数的图象与性质1、已知三角函数解析式求单调区间求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y=Asin（x）或y=Acos（x）（其中，0）的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，0)图象的一部分，对任意的，且，若
2、，有，则的值可能为（ ）ABCD【答案】BD【分析】由题意，从图看出，可知关于函数的对称轴是对称的.即x=时其中一条对称轴，且f()=2，即可求解的值.【详解】解：由题意，从图看出A=2，可知关于函数的对称轴是对称的.即x=是其中一条对称轴，且f()=2，函数f()=2，可得：2sin()+=2，可得：()+=+2k，kZ，.，函数，可得：，或+2k，kZ，.令k=0，由解得：=，或，0，=或.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题.关键在于运用正弦函数的对称性建立关于的关系.11（2021湖北石首市第一中学高三阶段练习）已知
3、函数，则下述结论中错误的是（ ）A若f（x）在0，2有且仅有4个零点，则f（x）在0，2有且仅有2个极小值点B若f（x）在0，2有且仅有4个零点，则f（x）在上单调递增C若f（x）在0，2有且仅有4个零点，则的范围是D若f（x）图象关于对称，且在单调，则的最大值为11【答案】BD【分析】利用正弦函数的图象和性质对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】因为,因为 在有且仅有个零点，所以 ，所以.所以选项C正确； 此时，在有且仅有 个极小值点，故选项A正确；因为，因为，所以当时，所以 ，此时函数不是单调函数，所以选项B错误；若的图象关于对称，则，.，.当时，当时，此时，函数在区间上单调递减，故的最大
4、值为9故选项D错误.故选：BD【点睛】求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数12（2022江苏高三专题练习）在中，角、的对边分别为、，面积为，有以下四个命题中正确的是（ ）A的最大值为B当，时，不可能是直角三角形C当，时，的周长为D当，时，若为的内心，则的面积为【答案】ACD【解析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C；由已知条件得是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得的面
5、积即可判断选项D.【详解】对于选项A：（当且仅当时取等号）.令，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，故可得，又，故可得，当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；对于选项B：因为，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，故选项B错误；对于选项C，由，可得，由得，由正弦定理得，即，所以，化简得，因为，所以化简得，因为，所以，所以，则，所以，所以，因为，所以，所以的周长为，故选项C正确；对于选项D，由C可知，为直角三角形，且，所以的内切圆半径为，
6、所以的面积为所以选项D正确，故选：ACD【点睛】本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A利用面积公式和余弦定理，结合不等式得，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.三、填空题13（2021内蒙古海拉尔第二中学高三期中）函数的部分图象如图所示，已知分别是最高点、最低点，且满足（为坐标原点），则_【答案】【分析】由已知部分函数图象可知，即可求，再由向量垂直的坐标表示求A，最后由求，即可写出的解析式.【详解】由图象知：，即，则，可得，的横坐标为，即，则，得，由五点作图法知：，得，综上，函数的解析式为故答案为：14（2021上海市七宝中学高三期中）已知中的内角、的对边分别为、，若
7、，且则的面积是_【答案】【分析】利用正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角，利用余弦定理分析可知为等边三角形，求出该三角形的边长，利用三角形的面积公式即可得解.【详解】，则，即，即，即，则，可得，则，则，由余弦定理可得，所以，故，所以，为等边三角形，则，故，故.故答案为：.15（2021河南高三阶段练习）在中，内角，所对的边分别为，已知，若为的面积，则当取得最小值时，的值为_.【答案】【分析】首先根据已知，利用正弦定理求出，进而求出，然后利用余弦定理，用、表示，结合三角形面积公式，再利用均值不等式求出最小值，并求出取得最小值时成立的条件即可求解.【详解】因为，由正弦定理得，即，又因为，所
8、以，故，则，由余弦定理得，则，又因为，当且仅当时，不等式取“”号，当且仅当时，取得最小值，故，即，从而，此时.故答案为：.16（2021浙江省诸暨市第二高级中学高三期中）在ABC中，则ABC的外接圆面积_，ABC周长的最大值为_.【答案】 【分析】根据在ABC中，利用正弦定理解得外接圆的半径，求得外接圆的面积；然后由ABC周长为求解.【详解】因为在ABC中，所以，解得，所以ABC的外接圆面积是，所以，所以ABC周长为，因为，所以，当，即时，ABC周长求得最大值为.故答案为：，四、解答题17（2021浙江高考真题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）
9、.【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，由可得，所以当即时，函数取最大值.18（2021全国新高考1卷真题）记是内角，的对边分别为，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.（2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求.【详解】（1）由题设，由正弦定理知：，即，又，得证.（2）由题意知：，同理，整理得，又
10、，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及得到的数量关系，结合已知条件及余弦定理求.19（2020江苏苏州高三阶段练习）在非直角三角形ABC中，角的对边分别为，（1）若，求角B的最大值；（2）若，（i）证明：；（可能运用的公式有）（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由.【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）存在，证明见解析.【解析】(1)由余弦定理结合基本不等式可得，从而可求出角B的最大值.(2)(i)由正弦定理边角互换可得，结合
11、和差化积公式和诱导公式可得，结合两叫和、差的余弦公式和同角三角函数的基本关系可得所证式子.(ii)结合已知条件和半角正切公式可得，通过整理变形可得，从而可求出.【详解】解：（1）因为，所以由余弦定理可得：（当且仅当时取等号），又，所以角B的最大值为.（2）（i）由及正弦定理得，所以，因为，所以，有，由两角和、差的余弦公式可得整理得，故（ii）由及半角正切公式可得，展开整理得，即，即，即，与原三角式作比较可知存在且【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了诱导公式，属于难题.本题的难点在于变形整理.20（2021上海华师大二附中高三阶段练习）随着生活水平的不
12、断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某市的一条健康步道，为线段，是以为直径的半圆，.（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道（，在两侧），为线段.若，到健康步道的最短距离为，求到直线距离的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理求出半径，利用圆的周长公式可得结果；（2）先求出点的大致轨迹，再结合正弦定理、圆的几何性质求最点到直线距离的最值即可求解【详解】（1）在 中，由余弦定理可得，（2） 的轨迹为 外接圆的一部分
13、，设 外接圆的半径为，由正弦定理，且满足，由（1）得：，所以为直角，过作于，设所求距离为，当通过圆心时， 达到最大，由几何关系得，四边形为矩形，所以，此时满足，当无限接近时，此时，综上：所求 到直线 距离 的取值范围为【点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，动点到定直线距离的最值问题，同时对学生推理分析，数形结合，运算求解的能力有一定的要求，属于中档题21（2021辽宁实验中学高三期中）如图：某公园改建一个三角形池塘，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在内部取一点，建造连廊供游客观赏，如图，使得点是等腰三角形的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；(2)若分别在，上取点，并连建
14、造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图，使得为正三角形，或者如图，使得平行，且垂直，则两种方案的的最小面积分别设为，则和哪一个更小？【答案】(1)百米(2)答案见解析.【分析】（1）先由中的余弦定理求出，再由中的余弦定理求出即可求得连廊的长；（2）分别表示出方案和方案的面积，利用三角函数求最值以及二次函数求最值即可.(1)解：点是等腰三角形的顶点，且，且由余弦定理可得：解得：又在中，在中，由余弦定理得解得，连廊的长为百米.(2)解：设图中的正三角形的边长为，（）则，设，可得 在中，由正弦定理得：，即即化简得：（其中，为锐角，且） 图中，设，平行，且垂直，当时，取得最大值，无最
15、小值，即即方案面积的最小值大于方案面积的最大值方案面积的最小值不存在，但是方案的面积均小于方案.【点睛】在实际应用中求面积最值，我们一般将面积表示为函数形式，转化为求函数的最值，然后利用三角函数求最值、二次函数求最值、基本不等式求最值以及导数求最值.22（2019全国高考真题（理）的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围【答案】(1) ;(2).【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用考查的很全面，是一道很好的考题.