1、考点测试21平面向量的数量积及应用高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系一、基础小题1若单位向量e1，e2的夹角为60，ae1e2，且|a|，则实数()A1 B2C0或1 D2或1答案D解析由于|a|，所以a23，即(e1e2)23，2e2e1e2e22cos6013，即220，解得2或1.故选D.2已知向量a(1,2)，A(6,4)，B(4,3)，b
2、为向量在向量a上的投影向量，则|b|()A. B. C. D2答案C解析(2，1)，由投影公式可知|b|.3若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案A解析因为()(2)0，即()0，所以()()|2|20，即|，所以ABC是等腰三角形故选A.4已知a，b是两个非零向量，其夹角为，若(ab)(ab)，且|ab|2|ab|，则cos()A. B. C D答案B解析由(ab)(ab)，得(ab)(ab)0，可得|a|2|b|20，即|a|b|.由|ab|2|ab|，可得|ab|24|ab|2，即|a|22ab|
3、b|24(|a|22ab|b|2)整理得ab|a|2，cos.故选B.5在ABC中，0，|4，|5，D为线段BC的中点，E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则()A. B. C D7答案A解析如图所示，|3，()()()(22).故选A.6(多选)已知e1，e2是两个单位向量，R时，|e1e2|的最小值为，则下列结论正确的是()Ae1，e2的夹角是Be1，e2的夹角是或C|e1e2|1或D|e1e2|1或答案BC解析设向量e1，e2的夹角为，则e1e2cos，因为|e1e2|，且当cos时，|e1e2|min，得cos，故或，且|e1e2|1或.7(多选)已知向量a(，1)，b(cos，
4、sin)，则下列结论正确的有()A|b|1 B若ab，则tanCab的最大值为2 D|ab|的最大值为3答案AC解析对于A，|b| 1，A正确；对于B，若ab，则sincos0，tan，B错误；对于C，abcossin2sin，最大值为2，C正确；对于D，ab(cos，1sin)，|ab| ，sin的最小值为，则|ab|的最大值为，D错误故选AC.8已知ABC的三边长AC3，BC4，AB5，P为AB边上任意一点，则()的最大值为_答案9解析根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，A(0，3)，B(4,0)，C(0,0)，(4，3)，(0,3)(4，3)(4，33)，0,1，()(4，33)(0
5、,3)990,9，()的最大值为9.二、高考小题9(2020全国卷)已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa，ab()A B C. D.答案D解析|a|5，|b|6，ab6，a(ab)|a|2ab52619，|ab|7，cosa，ab.故选D.10(2021全国甲卷)已知向量a(3,1)，b(1,0)，cakb.若ac，则_.答案解析cakb(3,1)k(1,0)(k3,1)，由ac，得ac0，所以3(k3)10，解得k.11(2021新高考卷)已知向量abc0，|a|1，|b|c|2，abbcca_.答案解析由已知可得(abc)2a2b2c22(abbcca)92(abbcc
6、a)0，因此，abbcca.12(2021天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DEAB且交AB于点E.DFAB且交AC于点F，则|2|的值为_；()的最小值为_答案1解析设BEx，x，ABC为边长为1的等边三角形，DEAB，BDE30，BD2x，DEx，DC12x，DFAB，DFC为边长为(12x)的等边三角形，DEDF，(2)242424x24x(12x)cos0(12x)21，|2|1，()()()2(x)2(12x)(1x)cos05x23x152，当x时，()取得最小值.13(2021浙江高考)已知平面向量a，b，c(c0)满足|a|1，|b|2，ab0，(
7、ab)c0.记平面向量d在a，b方向上的投影的数量分别为x，y，da在c方向上的投影的数量为z，则x2y2z2的最小值是_答案解析由|a|1，|b|2，ab0，不妨设a(1,0)，b(0,2)，所以ab(1，2)因为(ab)c0，所以可取c(2m，m)(m0)因为向量d在a，b方向上的投影的数量分别为x，y，所以可得d(x，y)，所以da(x1，y)，则z.故x2y2z2x2y26y2(44x)y9x28x4，当且仅当x，y，z时取等号，故x2y2z2的最小值为.14(2020浙江高考)设e1，e2为单位向量，满足|2e1e2| ，ae1e2，b3e1e2，设a，b的夹角为，则cos2的最小值
8、为_答案解析|2e1e2|，44e1e212，e1e2，cos21.15. (2020天津高考)如图，在四边形ABCD中，B60，AB3，BC6，且，则实数的值为_，若M，N是线段BC上的动点，且|1，则的最小值为_答案解析，ADBC，BAD180B120，|cos120639，解得.以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xBy，BC6，C(6,0)，AB3，ABC60，点A的坐标为.又，D.设M(x,0)，则N(x1,0)(其中0x5)，2x24x(x2)2，当x2时，取得最小值.三、模拟小题16(2021山东日照市高三二模)已知|a|，|b|4，当b(4ab)时，
9、向量a与b的夹角为()A. B. C. D.答案B解析b(4ab)，|a|，|b|4，b(4ab)0，即4abb24ab|b|20，ab4，cosa，b，所以向量a与b的夹角为.故选B.17. (2022江苏泰州中学高三开学考试)如图，在ABC中，BAC，2，P为CD上一点，且满足m，若AC3，AB4，则()A. B. C. D答案C解析因为2，所以，所以mm，因为C，P，D三点共线，所以m1，即m，所以，又，所以22|2|2|cos16943.故选C.18(2021江苏扬州高三月考)已知向量a，b满足|ab|2，且b(1，)，则|a|的取值范围是()A0,2 B0,4C2,4 D1,4答案B
10、解析由|ab|2，得(ab)24，即a2b22ab4，设向量a，b夹角为，则0，所以|a|2|b|22|a|b|cos4，因为b(1，)，所以|b|2，所以|a|24|a|cos0，当|a|0时，显然成立；当|a|0时，可得|a|4cos4,4，又|a|0，所以00，又a与b不共线，所以a与b的夹角为，故A错误；对于B，向量a在b方向上的投影的数量为，故B错误；对于C，ab(1,2)，因为(ab)c，m，n均为正数，所以c为非零向量，且n2m4，即2mn4，故C正确；对于D，由基本不等式知，42mn2，mn2，当且仅当2mn2时取等号，故mn的最大值为2，故D正确故选CD.21(2021北京高三二模)已知单位向量a，b的夹角为60，akb与b垂直，则k_.答案解析单位向量a，b的夹角为60，ab11cos60，akb与b垂直，(akb)babkb2k0，k.22. (2021河北唐山一中高三模拟)如图，在等腰三角形ABC中，ABAC3，D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且1，则tanA_，_.答案解析，225cosA41，cosA，0A，sinA，tanA，()23332.本考点在近三年高考中未涉及此题型