1、1.专题综述函数是高考数学的重要内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，通过对2011年新课标卷的各省高考题的研究发现，本专题热点考点可总结为六类：一是分段函数的求值问题，二是函数的性质及其应用，三是基本函数的图像和性质，四是函数图像的应用，五是方程根的问题，六是函数的零点问题。涉及到得函数思想也是相当的丰富，如分段函数问题常与分类讨论思想相结合，有关方程根的情况判断常涉及函数与方程思想和等等价转化思想，研究函数的图像问题和基本函数的性质时常利用数形结合思想等。高考常命制两道小题，一道基础题目，出现在前5道题目中，常考查基本函数的性质或零点问题，另一道常以压轴的小题出现，常与方
2、程的根或复合函数为背景考查，有一定的难度和灵活性。2考纲解读（1）了解简单的分段函数并能简单应用；（2）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，结合具体函数了解奇偶性的含义；（3）理解指数（对数）函数的概念，理解指数（对数）函数的单调性，掌握指数（对数）函数图像经过的特殊点；结合常见的幂函数图像解决简单问题；掌握二次函数的三个表达形式，能够数形结合分析二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系。（4）会应用函数图像理解和研究函数的性质；（5）根据具体函数的图像，能够运用二分法求相应方程的近似解；（6）结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。3 .2012年高考命题趋向（
3、1）以分段函数为表示形式考查求值问题是一类基础题目，常与指对数运算结合在一起，同时也考查学生能否灵活运用分类讨论思想的解题能力。（2）以二次函数、分段函数、对数函数等为载体考查函数的性质是热点。研究函数的性质可充分利用函数的各种性质所反映的函数特点，来解决函数的相关问题.命题思路常以函数的各种性质相互交融，只有仔细审题，充分挖掘，把题目隐含的条件一一挖掘出来，综合利用性质才能达到解决问题的目的.（3）与指数（对数）函数有关的综合问题的考查，以函数某个性质为核心，结合其他知识，把问题延伸，主要考查知识的综合运用和能力发展为目的.来源:Z,xx,k.Com（4）函数图象的考查涉及的知识面广，形式灵
4、活，经常以新面孔出现，在基本的初等函数图象熟练地掌握基础上，加以变换考查新函数的图象、性质等.（5）利用转化思想解决方程问题，利用函数与方程思想解决函数应用问题，利用数形结合思想研究方程根的分布问题，是高考的热点和难点，常作为压轴的选择题的形式出现。（6）函数的零点，二分法是新增内容，在高考中以选择题、填空题的形式考查的可能性较大。对于用二分法求方程的近似解应引起重视，由于步骤的可重复性，故可与程序框图相机合编写部分题目，这也是算法思想的的具体体现。解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解4高频考点解读考点
5、一 分段函数求值问题 【例1】2011福建卷 已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于()A3 B1 C1 D3【答案】A【解析】 由已知，得f(1)2；又当x0时，f(x)2x1，而f(a)f(1)0，f(a)2，且a0，a12，解得a3，故选A.【例2】2011陕西卷 设f(x)则f(f(2)_.【答案】2【解析】 f(x)20，f(102)lg1022.【解题技巧点睛】求f(g(x)类型的函数值时,应遵循先内后外的原则,而对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解,特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性.考点二 函数性质的基本应用【例3】2011课标全
6、国卷 下列函数中，既是偶函又在(0，)单调递增的函数是()Ayx3 By|x|1 Cyx21 Dy2|x|【答案】B【解析】 A选项中，函数yx3是奇函数；B选项中，y1是偶函数，且在上是增函；C选项中，yx21是偶函数，但在上是减函数；D选项中，y2|x|x|是偶函数，但在上是减函故选B.【例4】2011辽宁卷 若函数f(x)为奇函数，则a()A. B. C. D1【答案】A【解析】 法一：由已知得f(x)定义域关于原点对称，由于该函定义域为，知a，故选A.法二：f(x)是奇函数，f(x)f(x)，又f(x)，则,因函数的定义域内恒成立，可得a.【例5】【2011新课标全国】函数的图像与函数
7、（）的图像所有交点的横坐标之和等于( )A2 B4 C6 D8【解题技巧点睛】在解决与函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变得直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助. (1)一般的解题步骤:利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小; (2)画函数草图的步骤:由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象.考点三 基本函数的性质与图像 【例6】2011天津卷 已知则( )
8、A B C D 【答案】C【解析】根据对数函数的运算性质可知：再由指数函数为单调递增函数，因为，且，所以【例7】2011天津卷 对实数a和b，定义运算“”：ab设函f(x)(x22)(xx2)，xR，若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(，2 B(，2C. D.【答案】B【解析】本题考查二次函数的性质和图像。 f(x) 则f的图象如图：yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，yf(x)与yc的图象恰有两个公共点，由图象知c2，或1c.考点四 函数图像的应用【例8】2011陕西卷 设函f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则yf(x)的图像
9、可能是()【答案】B【解析】 由f(x)f(x)可知函数为偶函数，其图像关于y轴对称，可以结合选项排除A、C，再利用f(x2)f(x)，可知函为周期函数，且T2，必满足f(4)f(2)，排除D，故只能选B.【例9】 2011课标全国卷 已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时f(x)x2，那么函数yf(x)的图像与函数y|lgx|的图像的交点共有()A10个 B9个 C8个 D1个【答案】A【解析】考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，故下图容易判断出两函数图像的交点个数为10个，故选择【解题技巧点睛】函数图象分析类试题，主要就是推证函数的性质，然后根据函数的性质、特殊点的
10、函数值以及图象的实际作出判断，这类试题在考查函数图象的同时重点是考查探究函数性质、用函数性质分析问题和解决问题的能力利用导数研究函数的性质、对函数图象作出分析判断类的试题，已经逐渐成为高考的一个命题热点。考点五 与方程根的相关问题【例10】【2011陕西】设,一元二次方程有整数根的充要条件是= 【答案】 3或4【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根【例11】2011北京卷 已知函f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_【答案】(
11、0,1)【解析】单调递减且值域为(0,1，单调递增且值域为，函数f(x)的图象如图所示，故有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）考点六 函数零点问题【例12】2011课标全国卷 在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B. C. D.【答案】C【解析】 因为fe20，所以ff0，又因为函yex是单调增函数，y4x3也是单调增函数，所以函数f(x)ex4x3是单调增函，所以函数f(x)ex4x3的零点在内来源:学科网ZXXK【例13】2011山东卷 已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.
12、【答案】2【解析】 本题考查对函数的单调性与函数零点定理的应用因为2a3，所以loga21logaaloga3，因为3b1loga2，b31loga3，所以f(2)f(3)(loga22b)(loga33b)0，所以函数的零点在(2,3)上，所以n2.【例14】 2011陕西卷 函数f(x)cosx在0，)内()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点【答案】B【解析】 在同一个坐标系中作出y与ycosx的图象如图，由图象可得函数f(x)cosx在0，)上只有一个零点【解题技巧点睛】判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体问题灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求
13、出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理进行判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断针对训练一选择题1.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】已知函数，其图象上两点的横坐标，满足,且,则有 ( ) A B C D的大小不确定 答案：C解析：因为所以,2.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷】“”是“函数在区间上存在零点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件来源:学科网答案：A解析：在区间上存在零点，则，即，或，“”是“或”的充分不必要条件，“”是“函数在区间上存在零点”的充分不必要条件.
14、3.【银川一中2012届高三年级第四次月考】若，则函数的图像大致是( )解析： 函数在定义域为减函数，将函数故答案为B。4.【银川一中2012届高三年级第四次月考】设若，则的值是( ) A. -1 B. 2 C. 1 D.-2解析：5.【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】实数的大小关系正确的是（ ） A: B: C: D: 答案：C解析：根据指数函数和对数函数的性质，。6.【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】函数在定义域内零点的个数是（ ） （）0 （）1 （）2 （）3答案：D解析：在同一坐标系中画出函数与的图像，可以看到2个函数的图像在第二象限有2个交点，在第一象限有1个交点，
15、所以函数在定义域内有3个零点。7.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 解析： 由函数得在上的最大值是，最小值是所以，解得.8.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】来源:Zxxk.Com已知是奇函数，且，当时，则当时（ ）A. B. C. D. 解析： 由是奇函数，且，得，所以函数的周期又因为当时，所以当时，因为函数是奇函数，所以当时.9.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】已知函数则关于的方程，给出下列四个命题：存在实数，使得方程恰有1个不同实根；存在实数，使得方程恰有2个不同实根；存在实数，使得
16、方程恰有3个不同实根；存在实数，使得方程恰有4个不同实根；其中假命题的个数是 （ ）A0 B1 C2 D3答案：C解析： 当当当是增函数，是减函数，由得方程解的个数即与的图像交点的个数，由图像得当有1个解；当有2解。10.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷】设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立. 如果实数满足不等式组，那么的取值范围是A.(3, 7)B.(9, 25)C.(13, 49)D. (9, 49) 来源:学。科。网Z。X。X。K答案：C解析：由得，又，.是上的增函数， 又，结合图象知为半圆内的点到原点的距离，故，二填空题11.【2012年上海市普通高等学校春
17、季招生考试数学试卷】若为奇函数，则实数 .解析：12.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】已知函数若方程有解，则实数的取值范围是 _ _答案：解析：若方程有解，即函数的值域即为的范围，故实数的取值范围是13.【2012年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷】函数的最大值为 .解析： 因对号函数在区间1,2上单调递减，故当时函数取得最大值为5.14.【2012年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷】若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .解析： 15.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】设函数的定义域为，其中若函数在区间上的最大值为，最小值为，则在区间上的最大值与最小值的和为_ _答案： 或解析： 令在区间上的最大值为，最小值为，因为偶函数，故在区间上的最大值与最小值为6和3，和为9；令图象关于（0,1）点对称，设在区间上的最大值与最小值为，则有故