高考数学知识点梳理（核心）.pdf

1、配套新教材新高考高考数学知识点梳理完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取高考数学知识点梳理目录第一章 预备知识.11.1 集合.1一、集合的含义与表示.1二、集合间的基本关系.2三、集合的基本运算.2四、常用做题技巧.31.2 常用逻辑用语.4一、充分条件与必要条件.4二、全称量词与存在量词.41.3 一元二次函数、方程、不等式.5一、一元二次不等式.5二、高次不等式.6三、分式不等式.6四、无理不等式.61.4 基本不等式.7一、两个核心不等式.7二、柯西不等式.8三、基本不等式的拓展.9第二章 函数.102.1 函数三要素.10一、函数及其定义域.10二、函

2、数的解析式.11三、函数的值域、最值.12四、重要函数.142.2 函数四大性质.16一、函数的单调性.16二、函数的奇偶性.18三、函数的周期性.20四、函数的对称性.20五、函数的周期对称综合.22六、类周期.222.3 指对幂函数.23一、指数运算.23二、对数运算.24三、指数函数图像.25四、对数函数图像.26五、指对函数拓展性质.27六、幂函数图像性质.282.4 函数图像与零点.29一、函数图像问题.29二、函数模型.30完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取三、函数增长快慢.30四、函数的零点.31五、二次方程根的分布.32六、恒成立和存在性问题

3、.34第三章 导数.363.1 导数基本功.36一、导数定义与几何意义.36二、导数的计算.383.2 导数解决单调性、极值最值问题.39一、导数研究单调性.39二、导数研究极值最值.413.3 导数中的重要函数图像.42一、八大同构函数图像.42二、三次函数图像.433.4 原函数导函数混合还原.443.5 导数压轴知识点.45一、同构.45二、隐零点代换与估计.46三、泰勒公式.47四、常用导数放缩.47五、指对常见处理方式.48六、极值点偏移与对均不等式.48第四章 三角函数与解三角形.524.1 三角基本功.52一、任意角与弧度制.52二、任意角的三角函数.53三、三角函数的诱导公式.

4、544.2 三角函数公式与运算.55一、基本公式.55二、进阶公式与技巧.564.3 三角函数图像与性质.57一、基础图象性质.57二、周期判断问题.57三、奇偶性问题.57四、三角函数最值、值域题型.58五、函数=+的图象.58六、精心整理核心结论.594.4 解三角形.60一、正余弦定理与面积公式.60二、解三角形与解的个数问题.61三、三角形的角平分线与中线性质.62四、精心整理常用结论.64五、解三角形中的最值与范围问题.65六、实际问题中的常用术语.66完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取第五章 平面向量与复数.675.1 向量基本功.67一、向量中

5、的基本概念.67二、平面向量的线性运算.67三、平面向量的基本定理及坐标表示.68四、向量的数量积.695.2 向量进阶补充.70一、向量常用解题技巧.70二、常见坐标系建立.71三、等和线.71四、极化恒等式与矩形大法.72五、三角形四心.735.3 复数.75一、数系的扩充和复数的概念.75二、复数代数形式的四则运算.75三、复数的进阶结论.76第六章 数列.776.1 等差数列.776.2 等比数列.796.3 数列求通项.81一.、公式法.81二、累加法.81三、累乘法.81四、构造法：.82五、隔项数列求通项.83六、不动点法(特征根法).836.4 数列求和.84一、公式法.84二

6、、倒序相加(乘)法.84三、分组求和法.84四、错位相减法.85五、奇偶并项法.85六、裂项相消法.866.5 斐波那契数列.89第七章 立体几何.927.1 空间几何体.92一、空间几何体的结构特征.92二、空间几何体的表面积与体积.93三、平面多边形的直观图的画法(斜二侧画法).937.2 外 接 球 与 内 切 球.94一外接球.94二内切球.967.3 立体几何证明平行垂直.98一、平面的基本性质.98二、平行的判定及其性质.98完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取三、垂直的判定及其性质.1007.4 立体几何常用结论.1037.5 空间向量.107一

7、、空间向量中的共线与共面定理.107二、空间向量基本定理.108三、空间向量运算的坐标表示.108四、空间向量的应用-线面位置关系的证明.109五、空间向量的应用-求角.110六、空间向量的应用-求距离.112第八章 解析几何.1138.1 直线.113一、直线基础知识.113二、对称性问题.115三、常见的直线系方程.116四、到角公式与夹角公式.116五、直线问题核心结论与技巧.1178.2 圆.118一、圆的定义.118二、点与圆的位置关系.119三、直线、圆的位置关系.120四、圆的切线系列问题.121五、圆幂定理.123六、圆与圆的位置关系.123七、求圆方程的技巧.1248.3 椭

8、圆.125一、椭圆第一定义.125二、椭圆第二定义.126三、椭圆第三定义.128四、椭圆焦点三角形大总结.1288.4 双曲线.129一、双曲线第一定义.129二、双曲线第二定义.130三、双曲线第三定义.131四、双曲线焦点三角形大总结.132五、双曲线渐近线问题.132六、椭圆双曲线共焦点问题.1348.5 椭圆与双曲线对偶结论总结.1358.5 抛物线.138一、抛物线基础知识.138二、抛物线焦点弦性质.1398.6 直线与圆锥曲线.141一点差法.141二、圆锥曲线大题基本得分步骤.143第九章 计数原理概率统计.1459.1 计数原理.145完整 word+ee+pdf 编辑版加

9、微信 deft632765 获取一、排列组合基本计算.145二、排列组合基本方法.146三、二项式定理.1509.2 概率部分.152一、基本概念.152二、事件的关系、性质及概率计算.153三、事件的相互独立性.155四、频率与概率.155五、条件概率和全概率公式.156六、递推方法计算概率与一维马尔科夫过程.157六、离散型随机变量及其分布列.158七、离散型随机变量的数字特征.158八、二项分布与超几何分布.159九、正态分布.1629.3 统计部分.164一、随机抽样.164二、平均数的计算.165三、方差的计算.165四、百分位数的计算.167五、频率分布直方图中的数据计算.167六

10、、nibaxi,2,1的数据计算.168七、回归分析.169八、独立性检验流程.171完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取1第一章 预备知识1.1 集合一、集合的含义与表示1元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性2元素与集合的关系：，；3常用数集符号：正整数集：或+（不含 0）自然数集：（含有 0）整数集：（正整数、负整数、零）有理数集：（无限不循环为无理数，无限循环为有理数）实数集：（包括有理数和无理数）无理数集：复数集：（包括实数和虚数）偶数集：|=2，（0 是偶数）奇数集：|=2 1，

11、正数集：+=0=(0，+)负数集：=0的补集是|0，而不是 1 0=|0 或2+0 的解法：对于一元二次方程2+=0 0，设=2 4，（当 0 时，方程两根为1，2=2）解一元二次不等式的步骤：整理好不等式，2+0 或2+0，【系数一般化为正数】通过因式分解或求根公式确定方程2+=0 的根.画出函数=2+图象后，写出不等式的解集2若2+0(或 0=0 =2+的图象2+=0 的根有两相异实根1，2(1 0 的解集|2|2 2+0 的解集|1 2 1=212完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取18二、函数的奇偶性1奇偶性定义：先看定义域是否关于原点对称，再比较()

12、与()的关系偶函数：对于函数()的定义域内任意一个，都有 =，那么函数()就叫做偶函数即 =()为偶函数()的图象关于轴（x=0）对称轴对称.奇函数：对于函数()的定义域内任意一个，都有 =，那么函数()就叫做奇函数即 =()为奇函数()的图象关于原点（0，0）对称中心对称.2.常用结论奇偶函数四则运算与复合 g +g g g g 偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数奇函数 的定义域若包括 0，则必有 0=0用于求解析式中的参数的值，或用于写分段奇函数.()为偶函数 =(|)，常

13、用于解不等式 1 2|1|0，0，0)，【=2+=+，=2+令=+=+】4某些含根式的函数的图象可以通过对解析式变形，变形为曲线方程来判断如：=1+4 3 2 =1+4 3 2 3 2+1 2=4(1)，其图象为半圆5()在区间上的图形是（向上）凹的 0（即切线的斜率递增）()在区间上的图形是（向上）凸的 0（即切线的斜率递减）00=0+0(0)=0+0(0)=完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取36第三章 导数3.1 导数基本功一、导数定义与几何意义1函数=()从1到2的平均变化率为：=2 121变式：=1+1函数=()在=0处附近的平均变化率为：=0+0平

14、均变化率的几何意义：割线的斜率；平均变化率的物理意义：平均速度（将=()视为作直线运动时位移关于时间的函数）2函数=在=0处的瞬时变化率（导数）：0=|=0=lim0=lim0 0+0几何意义：切线的斜率；物理意义：瞬时速度（将=()视为作直线运动时位移关于时间的函数）变式：lim0 0+0=0，lim0 0+(0+)=0，lim0 (0)0=03导数的几何意义：函数=()在=0处的导数 0 就是曲线=()上的点(0，0)处切线的斜率即=0|=0，因此切线方程是：0=0(0)=()+完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取453.5 导数压轴知识点一、同构1.基础

15、变形方式lnxxxxee；lnxxxeex；ln x xxxee；lnlnxxxxe；lnlnxexxx.2.积、商、和差型变形方式积型：lnaaebb lnlnabxa eb ef xxe（同左）lnlnaaeebb lnf xxx（同右）lnlnln lnaabb lnf xxx（取对数）商型：lnaebablnlnabeeab xef xx（同左）lnlnaaebeb()lnxf xx（同右）lnlnln(ln)aabb()lnf xxx（取对数）和差型：lnaeabblnlnabeaeb()xf xex（同左）lnlnaaeebb()lnf xxx（同右）3.配凑变形同构lnaxaex

16、lnaxaxexx；ln1ln()ln(1)1lnln(1)1xxxaeaaxaaea xeaxa lnln(1)lnln(1)1ln(1)xaxexaxxex；lnlnlnlog(ln)lnlnxxaxaaxaxexa exxa 111ln0lnlnlnaaaaxxxxxxxxxf xxxeee 1lnlnlnlnaxxxaxxaaxxeaxxexeax ef xxex 完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取47三、泰勒公式泰勒公式：()200000000()()()()()()()()()2!nnnfxfxf xf xfxxxxxxxxxn泰勒公式在00 x

17、时的特殊形式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!nnnfff xffxxxo xn由带有佩亚诺余项的泰勒公式（麦克劳林公式）可得如下高考常用函数的展开式：=1+22!+!+11=1+2+3+（等比数列求和，首项为 1，公比为）11+=1 +2 3+（等比数列求和，首项为 1，公比为）ln 1+=22+33+1 1 +1+=1+12!2+1 +1!+（nnxCxCxCCx2210)1(）sin=33!+55!77!+cos=1 22!+44!66!+tan =+13 3+215 5+17315 7+(7)(|0，0.求如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的 来代替，再在

18、旁边标注 的三角函数值备用.eg：cos 3sin=3sin+cos=2sin(+)由 tan=1 3，sin=12，=32，可知角为第二象限角，所以=23所以 cos 3sin=2sin(+23)完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取56二、进阶公式与技巧5.积化和公式 sin cos=12 sin +sin cos cos=12 cos +cos sin sin=12 cos cos +6.和化积公式 sin+sin=2 sin+2 cos2 sin sin=2 cos+2 sin2 cos+cos=2 cos+2 cos2 cos cos=2 sin+2

19、sin27化简小技巧：1 的代换：1=tan4=sin2 +cos2；cos+sin cos sin =1+tan 1tan =tan 4+tan 1tan 4 tan =tan(4+)8.两角互组，两角互补，两角互余两角互组：2sinsincoscostantan 两角互补：sinsincoscostantan 两角互余：2sincoscossin1tantan完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取574.3 三角函数图像与性质一、基础图象性质=sin，=cos，=tan的图像与性质【定义域，周期性，奇偶性（对称性），单调性，最值（值域）】二、周期判断问题si

20、n =2cos =2tan =sin +=2sin +=2sin +=sin|无cos|=2tan|无|sin|=|cos|=|tan|=三、奇偶性问题若=sin +为奇函数，则=，=0若=sin +为偶函数，则=+2若=cos +为奇函数，则=+2，=0若=cos +为偶函数，则=函数=图象五点作图法五点作图法三点两线作图法定义域|+2,值域 1,1 1,1最值=2+2()，max=1=2 2()，min=1=2()，max=1=2+()，min=1无单调性2 2,2+2()上递增2+2,2+32()上递减2 ,2()上递增2,2+()上递减；(2,+2)()上递增奇偶性奇函数偶函数奇函数对

21、称性关于直线=+2()对称关于直线=()对称关于点(2,0)()对称关于点(,0)()对称关于点(+2,0)()对称周期性 0=2=2=sin(+)的周期=2=cos(+)的周期=2=tan(+)的周期=注意对称中心、对称轴的距离与周期的关系对称中心间距离与周期的关系注意=sin +与=cos +的图象与性质，及，的符号对函数的影响.32 =tan32 22=sin2 22321111=cos 22322完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取604.4 解三角形一、正余弦定理与面积公式1正弦定理（为三角形的外接圆半径）：sin=sin=sin=+sin+sin+

22、sin=2用于求边或求角 =2sin，=2sin，=2sin“化边为角”sin=2，sin=2，sin=2“化角为边”sin：sin：sin=：sin=sin正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化，如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可用.2余弦定理：（余弦“分式”，边“平方”）2=2+2 2cos；2=2+2 2cos；2=2+2 2cos（求边长或建立方程）cos=2+222；cos=2+222；cos=2+222；（求角、或“化角为边”）3三角形面积公式：=12 =12 =12 =12(+)(表示边上的高，为的内切圆半径)=12 sin=12 sin=12 sin=4（为的外

23、接圆半径）=，其中=+2（海伦公式）.证明：2222222221112224ABCabcSabababcab11222244abcbcacababcppapbpc2222222222112244ababcababcabccabp papbpc=12 sin=12 2 2=12 12 21.4三角形内角和定理：在中，有+=+2=2+2sin +=sin，cos +=cos，tan +=tan射影定理：=+=+=+sin+2=cos2，cos+2=sin2，tan+2=cos2/sin2(=cot2)斜三角形中，BABABACtantan1tantan)tan(tantanCtantantanCt

24、antanBABA(1,1)(2,2)(1,2)完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取73五、三角形四心1.奔驰定理：在ABC 所在的平面内，若存在一点 O，使得 xOAyOBzOC 0成立，则有OBCOACOABABCSSSSxyzxyz：，亦即OBCOACOABSOASyOBSOC 0证法一：（构造重心）如图，设ODxOA，OEyOB，OFzOC，则 ODOEOFxOAyOBzOC 0，故 O 是DEF的重心；由于1sin21sin2OABODESOA OBAOBSOD OEAOB，故1OABODESSxy，同理得：1OBCOEFSSyz，1OCAOFDSS

25、zx；又因为ODEOEFOFDSSS，故111OBCOACOABSSSx y zyzzxxy：ABCODEF证法二：（共线向量定理）如图，假设 O 在ABC 的内部，延长 AO 交 BC 于点 D，设(0)OAtOD t，则yOBzOCxOAxtOD ，由 B、D、C 三点共线得：yzxt，即yztx，故11BOCABCSODxSODOAtxyzODCBA完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取742.重心的重心是三条中线的交点.=21.0GAGBGC.:1:1:1BGCCGAAGBSSS=若112233,A x yB xyC xy，则123123,33xxxyy

26、yG.ABAC所在线为中线.2.内心的内心是三条内角平分线的交点三角形内切圆得圆心.+所在线为角平分线.O 是的内心sinsinsinaOAbOBcOCA OAB OBC OC00.O 是ABC 的内心0ABACBABCCACBOAOBOCABACBABCCACB.3.外心的外心是三条边的垂直平分线（中垂线）的交点外接圆圆心.O 是ABC 的外心OAOBOCO 是ABC 的外心()()()0OAOBABOBOCBCOCOACAO 是ABC 的外心sin 2sin 2sin 2A OAB OBC OC 0（利用奔驰定理易证得）4.垂心的垂心是三条边的高的交点H 是ABC 的垂心HA HBHBHC

27、HCHA.H 是ABC 的垂心222222HABCHBCAHCAB.H 是非直角ABC 的垂心tantantanA HABHBCHC 0 cos+cos所在线为高线.GFEDCBAOFEDCBAABCOABCHDEF完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取86六、裂项相消法积累裂项模型 1：等差型（1）11111nnnn（2）knnkknn1111（3）121121211412nnn（4）2111121211nnnnnnn（5）111121111112nnnnnnnnn（6）121211411422nnnn（7）21113121432131432113nnnnnn

28、nnnnnnn（8）1121311nnnnnnnn（9）2113214121nnnnnnnnnnn（10）3211211313211nnnnnnnnnn（11）2222111112nnnnn（12）22222114121nnnnn积累裂项模型 2：根式型（1）nnnn111（2）nknknkn11（3）12122112121nnnn（4）111111111111122nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取87积累裂项模型 3：指数型（1）12112112121212121221111nnnnnnnnn（2）13113121

29、1313311nnnnn（3）nnnnnnnnnnnnnnnn211212111221122121（4）nnnnnnnnnnn1111323213129212314（5）11111121nnnnnnnn（6）13 nnna，设1313nnnbnabana，得21a，41b，13324131241nnnnna积累裂项模型 4：三角函数（1）tantansin1coscos1aa（2）nnnntan1tan1sin11cos1（3）1tantantan1tantanaaa积累裂项模型 5：阶乘（1）!11!1!1nnnn（2）2221111!1!2!22!1!2!2nnnn nnn nnnnn n

30、完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取886.5 数列放缩一、放缩路径的选择(1)括号内放缩1 1+1=1(+1)12 1(1)=11 1(2);2(21)2=2(21)(21)2(21)(22)=21(21)(211)=1211 121(2)可更一般化为:(1)2=(1)(1)(1)()=1(1)(11)=11(111 11)2 2 (2)括号外放缩12=442 4421=2(121 12+1)1(21)2 14(1)=14(11 1)(2)2(+1)=2+1+22 2+1=2(1)1=22 2+2=2(,2)1=22 2+1+1=+1 1121=2+11(2

31、1)(2+11)2+1(21)(2+11)=221 22+11；131=3+11(31)(3+11)1),底数 的取值,根据题目具体调整即可13 1 1)；1 11()(1)(3)二项式定理由于 2 1=(1+1)1=(0+1+)1 1+2=(+1)2(3),于是121 2+1(3),2=(1+1)=0+1+1+0+21=2+1;(4)糖水不等式若 0,0,则+;若 0,则.解释:克不饱和糖水里含有 克糖,再往糖水里加入 克糖,则糖水变甜.如：131 0）圆心(2，2)，半径=2+2422.斜率圆动点 P 满足对两个定点,A B 的张角是 90（1PAPBkk 或者0PA PB）的轨迹为圆.证

32、明：已知两定点1122,A x yB xy，设,P x y，由0PA PB 得 1 2+1 2=03.阿波罗尼斯圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(0,1)的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿氏圆”特殊地，当1 时，点 P 的轨迹是线段 AB 的中垂线证明：不妨设(,0)Ac、(,0)(0)B cc，(,)P x y，由(0)PAPB 得：2222()()xcyxcy，即2222222(1)2(1)(1)(1)0 xcxcy，当1 时，即为222222(1)01cxxcy，整理得：2222221211cxcy，即点 P 的轨迹是以221,01c为圆心，221c 为半径的圆；当1 时，化简得0

33、x，即点 P 的轨迹为 y 轴拓展：如图，A、C、B、D 为调和点列；PC、PD 分别为APB 的内、外角平分线；PCPD；以上三个条件中，知道任意两个都可以推得第三个！PABDCPABDCO完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取1213.点、直线和圆的距离模型一般分为如下四种情况，可以自己画草图理解分析！其中，d 为圆心到直线 l 的距离；1l ldrdO1l ldrdO2ldrdrd001234(1)半径为 r 的圆上恰有一个点到直线 l 的距离为 d，则 drd；(2)半径为 r 的圆上恰有两个点到直线 l 的距离为 d，则 rddrd；【以(1)和(3)

34、为界限！】(3)半径为 r 的圆上恰有三个点到直线 l 的距离为 d，则 drd；(4)半径为 r 的圆上恰有四个点到直线 l 的距离为 d，则 drd【以(3)为界限！】四、圆的切线系列问题1.圆的切线(1)点在圆上的切线【要熟练利用向量法快速证明】过圆222xyr上一点00(,)xy的切线方程为：200 xxyyr；过圆222()()xaybr上一点00(,)xy的切线方程为：200()()()()xa xayb ybr；过圆220 xyDxEyF上一点00(,)xy的切线方程为：0000022xxyyxxyyDEF(2)点在圆外的切线【利用斜率 k 解题，一定要讨论！即使不成立，也要说明

35、一下】过圆222()()xaybr外一点00(,)xy向圆作切线，求切线方程：设切线方程为00()yyk xx，利用圆心到直线的距离等于半径，求出 k 即可，如果 k 只有一解，则意味着有一条切线与 x 轴垂直！(3)斜率已知的切线切线斜率为 k 与圆222xyr相切的切线方程为：21ykxr k；切线斜率为 k 与圆222()()xaybr相切的切线方程为：2()1ybk xar k完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取1233.切线长公式OMPQ圆的切线长公式：过圆外一点00(,)M xy向圆220O xyDxEyF：，作两条切线，切点为 P 和 Q，则切线

36、长为：222222002200004224MPMQMOrDEDEFxyxyDxEyF五、圆幂定理(1)相 交 弦 定 理：圆 内 的 两 条 相 交 弦 AB、CD，被 交 点 P 分 成 的 两 条 线 段 长 的 积 相 等，即PAPBPCPD(2)切割线定理：从圆外一点 P 引圆的切线 PA 和割线 PCD，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即2PAPCPD(3)割线定理：从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A、B；C、D，则有 PAPBPCPDOPABCDMN()A BPCDOOPABCDMN完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取12

37、68.3 椭圆一、椭圆第一定义1.第一定义平面内与两个定点1,2 的距离之和等于常数(大于 12)的点的轨迹称为椭圆1+2=2 2 2=12+2+2+2+2=2 22+22=1；这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.注：1+2=2 12 点的轨迹是以1、2为焦点的椭圆；1+2=2=12 点的轨迹是线段12；1+2=2 0)22+22=1(0)范围 且 且 顶点1 ,0、2 ,01 0,、2(0,)1 0,、2 0,1 ,0、2(,0)轴长短轴长 2，长轴长 2焦点1 ,0、2(,0)1 0,、2(0,)焦距12=2、的关系2=2+2离心率=1 22(0 0)的焦点(2，0)作直

38、线，与抛物线交于 1，1，(2，2)，则有：1.定值：=，=2.设1BBl,1B 为垂足，则 A、O、1B 三点共线;设1AAl,1A 为垂足，则1A、O、B 三点共线.证明 1：设直线 AB 的方程为2pxty与拋物线22ypx联立得:22()2pyp ty，即2220yptyp，故212y yp,2221212224yypx xpp.证明 2：11122222211112122222,22OAOByyyypypyppkkpyxyppy yyp ，则 A、O、1B 三点共线，同理 B、O、1A 三点共线.3.|1cos1cosppAFBF（为ABl的倾斜角）41222|sinpABxxpa=

39、+=5.112AFBFp6.1112ABMNp(MN 为与 AB 垂直的弦)722sinAOBpS证明 31111|1cos|cosAACCAFpAFpFCCCAF，同理|1cospBF422|1cos1 cossinpppABAFBFaaa=+=+=-+7设 O 到 AB 的距离为 d，则sin2pd，故22112|sin22 sin22sinAOBpppSAB daaa=111完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取1418.6 直线与圆锥曲线一点差法(1)如图，设 AB 是椭圆22221xyab 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，C 是椭圆上一点，

40、且弦BC（也叫椭圆的直径）过椭圆的中心 O，则有：22OMABABACbkkkka MABCOxyOxyMlOxyMABCOxyMl证明：设11(,)A xy，22(,)B xy，22(,)Cxy，00(,)M xy，则22112222222211xyabxyab作差可得：2012121221212120yyyyyyybxxxxxxxa，即22ABACOMABbkkkka，故得证注：对于22OMABbkka，这个性质一般称为有心圆锥曲线的“垂径定理”，一般也称作“中点点差法”！对于22ABACbkka，一般称作“对称点点差法”，第三定义就是此形式的一个特例当点 A、B 不断接近，直至为同一点

41、M 时，设点 M 处的切线为 l，此时亦有22OMlbkka 完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取143二、圆锥曲线大题基本得分步骤第一步：设点设线1.设线与设点的选择标准椭圆单动点：在椭圆上找一点使它满足某种条件时设点或者牵一“点”动全身时，设点；抛物线双动点设点：作差相除（点差法）很容易得到一个斜率或者斜率的倒数，利用这一特征，抛物线我们一般多采用设点法抛物线背景下,用“设点”表示直线显得较为简练.2.正设直线与反设直线正设直线先考虑直线斜率不存在的情况（易忽视），要么求解结果，要么直接证明；当已知条件中未出现直线过定点时，一般设为 ykxm；若题目条件中

42、指明直线过定点00(,)xy，则设为00()yyk xx反设直线先考虑直线斜率为 0 的情况（易忽视），要么求解结果，要么直接证明；当已知条件中未出现直线过定点时，一般设为 xmyn；若题目条件中指明直线过定点(,0)t，则设为 xmyt 若题目已知条件中，直线所过定点在 x 轴上，优选反设直线，在计算量上会简单很多.直线 l 与pxy22 联立时，通常设 xmyn，计算要简单多多数题目，两种思路通用，不过有繁简之别；少数题目，只能用一种思路，还需在平时做题中加以区分第二步：题目信息转化为坐标在“第一步准备”完成后，掌握“第二部转化”中常规问题的转化：1弦长 =1+2 1 2=1+21+2 2

43、 412；=1+12 1 2=1+121+2 2 412.2当直线过焦点(，0)时，=12|1 2|；当直线过焦点(0，)时，=12|1 2|3若弦中点(0，0)，则 0=1+220=0+（求0不需再消元）；若过定点，则=可加以利用.4以为直径的圆过点 =0 12+12=0 12+1+2+=0.1+2 12+1+2+2=0.为钝角 0.【上面的点也可以是其它的定点（如焦点(，0)），转化类似】22完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取150三、二项式定理1二项式定理：+=0+11+222+=1展开式中有+1 项.0，1，2，就叫每一项的二项式系数；二项展开式的通

44、项公式：+1=，=0，1，2，主要用于求指定项（或其系数）、有理项（自变量的指数为整数，含常数项）等有关问题公式：1+=1+1+22+【的展开式的特点及通项公式：+1=1，=0，1，2，】2对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即=；3增减性与最大值：二项式系数从两端往中间逐渐增大显然，最大二项式系数在中间当为奇数时，中间两项12、+12 同为最大；当为偶数时，中间一项2最大4所有二项式系数的和：0+1+2+=2；(当为奇数时，前一半和后一半的和相等)奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和：0+2+4+=1+3+5+=215 +与 +的展开式中所有项的系数和为 +（令=1，=1)

45、6 +=0+1+22+=的展开式的系数关系0=(0)；0+1+2+=(1)（所有项的系数和）；0 1+2 +1 =(1)求|0|+|1|+|2|+|的值.利用 +=|0+1 +2 2+|求解，即等于|+|求1+22+33+的值.对 +=0+1+22+求导得：+1=1+22+332+1，然后赋值=1.完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取153二、事件的关系、性质及概率计算1.事件的包含关系：如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，我们就称事件 B 包含事件 A，或事件 A 包含于事件 B，记作AB 或BA 如果BA，那么 BPAP.2.事件相等：如果事件 B

46、包含事件 A，事件 A 也包含事件 B，即AB 且BA，则称事件 A 与事件 B 相等，记作BA 如果BA，那么 BPAP.3.并事件：一般地，事件 A 与事件 B 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件 A 中，或者在事件 B 中，我们称这个事件为事件 A 与 B 的并事件或者和事件，记作BA 或者BA 设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有：P ABP AP BP AB4.交事件：一般地，事件 A 与事件 B 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件 A 中，又在事件 B 中，我们称这个事件为事件 A 与 B 的交事件或者积事件，记作BA 或者 AB.完整 word+

47、ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取156五、条件概率和全概率公式1.条件概率：一般地，设 A，B 为两个随机事件，且 0AP，我们称 APABPAnABnABP|为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，简称条件概率 其中，ABn和 An分别表示积事件 AB和事件 A 包含的样本点的个数.2.概率的乘法公式：对于任意两个事件 A 与 B，若 0AP，则|P ABP A P B A我们称上式为概率的乘法公式，显然，若 0AP，则当且仅当事件 A 与 B 相互独立时，等式 BPABP|成立.与之类似地，对于任意三个事件 A,B,C，当 0ABP时，有|P ABCP

48、A P B A P C AB这个公式还可以推广到 n 个事件1A,2A,nA，当 0.121nAAAP时，有 12121321121|nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP3.条件概率的性质：条件概率只是缩小了样本空间，因此同样具有概率的性质设 0AP，则：(1)1|AP(2)如果 B 和C 是两个互斥事件，则 ACPABPACBP|(3)设 B 和 B 互为对立事件，则 ABPABP|1|完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取1602二项分布（放回抽取）重伯努利试验（1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳

49、性或阴性；（2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验,（3）重伯努利试验具有如下共同特征第一：同一个伯努利试验重复做次；第二：各次试验的结果相互独立；二项分布概念一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为(0 1),用表示事件发生的次数,则 =1 ,=0,1,2,此时称随机变量服从二项分布,记作 (,),并称为成功概率.随机变量的分布列如下：010 0 111 0(其中=1 )由二项式定理,可得=0 =0=+=1 二项分布的期望与方差一般地,如果 (,),那么 =,=(1 ).下面对期望进行证明证明：令=1 ,由=11,可得 =0=111=1111 1(

50、1)令 1=,则 =011 1 1=+1=完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取165二、平均数的计算1.普通平均数：n 个数据分别为12,nx xx，则niinxnnxxxx12112.加权平均数：若一组数据12,nx xx的频率分别为12,np pp，则1 1221nnniiixp xp xp xp x 3分层抽样的平均数：在分层随机抽样中，如果层数分为 2 层，第1层和第 2 层抽取的样本量分别为 m 和 n 我们用mxxx,21表示第1层样本的各个个体的变量值；用nyyy,21表示第 2 层样本的各个个体的变量值，则样本平均数为11mniiiixymnw

51、xymnmnmn.同理，若总体分为 3层，第1，2 层和第3层抽取的样本量分别为nml,，则样本平均数为znmlnynmlmxnmllnmlzyxwliminiiii 111.三、方差的计算1普通方差：n 个数据分别为nxxx,21，用 x 表示这组数据的平均数，则方差2222212221111nnniiiixxxxxxsxxxxnnn2.加权方差：若一组数据12,nx xx的频率分别为12,np pp，用 x 表示这组数据的平均数，则方差2222211221nnniiispxxpxxpxxpxx2ss 为样本标准差，标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差

52、越小，数据的离散程度越小.完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取1663分层抽样的方差：在分层随机抽样中，如果层数分为 2 层，第1层和第 2 层的样本量、样本平均数和样本方差分别为2,sxm和2,ysyn记总的样本平均数为 w，样本方差为2s，则 22222wysnmnwxsnmmsyx简单证明如下：22122121wywywxwxnmsnmminiiiwywxnm11221miniiiwyyywxxxnm11221niniiimiiiwynyywyyywxmxxwxxxnm1122122221其中，21221112,0yniisminimiiiinsyymsxxyyxx，则222221wynnswxmmsnmsyx 2222wysnmnwxsnmmyx.同理，若层数分为3层，第1层、第 2 层和第 3层的样本量、样本平均数和样本方差分别为2,xl x s；2,ysym和2,zszn记总的样本平均数为 w，样本方差为2s，则可以证明 2222222wzsnmlnwxsnmlmwxsnmllszyx.完整 word+ee+pdf 编辑版加微信 deft632765 获取