1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 为虚数单位，则（ ）A B. C. D. 2. 若二项式的展开式中的系数是84，则实数（ ）A. 2 B. C. 1 D. 3. 设为全集，是集合，则“存在集合使得”是“”的（ ）A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 4. 根据如下样本数据x345678y4.02.50.5得到的回归方程为，则（ ）A. B. C. D.5. 在如图所示的空间直角坐标系中，一个四
2、面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2,1），（2,2,2），给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. 和 B.和 C. 和 D.和 6. 若函数上的一组正交函数，给出三组函数：；其中为区间上的正交函数的组数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.37. 由不等式确定的平面区域记为，不等式确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）A. B. C. D.8.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥
3、的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）A. B. C. D.9.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A. B. C.3 D.210.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，.若,f(x-1)f(x),则实数a的取值范围为A B C D二、 填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一） 必考题（1114题）11.设向量，若，则
4、实数_.12.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则_.13.设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果_.第13题图14. 设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.（）当时，为的几何平均数；（）当时，为的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二） 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后
5、的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）15. （选修4-1：几何证明选讲）如图，为外一点，过点作的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交于两点，若则.16. （选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为_ .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位:h）的变化近似满足函数关系:（）求实验室这一天的最大温差；（）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18.（
6、本小题满分12分）已知等差数列满足：，且，成等比数列.（）求数列的通项公式.（）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.19.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.（）当时，证明：直线平面;（）是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20. （本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不
7、超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；年入流量X40X8080X120X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元. 欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1. 记点M的轨迹为C.（）求轨迹为C
8、的方程；（）设斜率为k的直线过定点.求直线与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.22.（本小题满分14分）为圆周率，e=2.718 28为自然对数的底数.（）求函数的单调区间；（）求e3,3e,e,e,3,3这6个数中的最大数与最小数.（）将e3,3e,e,e,3,3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1.A 2.C 3.C 4.B 5.D 6.C 7.D 8.B 9.A 10.B二、填空题11. 12.2 13.49514.() ； () （或填() ； ()，其中为正
9、常数均可）15.4 16.三、解答题17. （）因为=，由0t24，所以，.当t=2时，；当t=14时，.于是f(t)在0，24）上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12，最低温度为8，最大温差为4.（）依题意，当f(t)11时，实验室需要降温.由（）得，故有11，即.又0t24，因此，即10t18.在10时至18时实验室需要降温.18. （）设数列的公差为，依题意，成等比数列，故有， 化简得，解得或. 当时，；当时，从而得数列的通项公式为或. （）当时，. 显然，此时不存在正整数n，使得成立. 当时，. 令，即， 解得或（舍去），此时存在正整数n，使得成立，n的最小值为4
10、1. 综上，当时，不存在满足题意的n；当时，存在满足题意的n，其最小值为41. 19. 几何方法（）证明：如图1，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知BC1AD1.当=1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FPAD1所以BC1FP.而FP平面EFPQ, 且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.（）如图2，连接BD. 因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD，且EF=BD. 又DP=BQ，DPBQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQBD，且PQ=BD，从而EFPQ，且EF=PQ.在RtEBQ和RtFDP中，因为BQ=DP=，BE=DF=1，于是EQ=FP
11、=，所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQMN是等腰梯形.分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG，则GOPQ，HOPQ，而GOHO=O，故GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角.若存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则GOH=90.连接EM，FN，则由EFMN，且EF=MN，知四边形EFNM是平行四边形.连接GH，因为H，G是EF，MN的中点，所以GH=ME=2.在GOH中，GH2=4，OH2=,OG2=,由OG2+OH2=GH2，得，解得，故存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.向量方法：以D为原点，射线DA，DC，D
12、D1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系Dxyz. 由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，)=(-2，0，2)，=(-1，0，)，=(1，1，0)（）证明：当=1时，=(-1，0，1)，因为=(-2，0，2)，所以=2，即BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.（）设平面EFPQ的一个法向量为n=(x，y，z)，则由 可得于是可取n=(，-，1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(-2，2-，1)若存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则mn=（-2，2-，
13、1）（，-，1）=0，即(-2)- (2-)+1=0，解得.故存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.20. （）依题意，,.由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为：.（）记水电站年总利润为Y（单位：万元）（1）安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E(Y)=50001=5000.（2）安装2台发电机的情形.依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y=5000-800=4200，因此P(Y=4200)=P(40X80)=p1=0.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y=50002=10
14、000，因此P(Y=10000)=P(X80)=p2+p3=0.8；由此得Y的分布列如下Y420010000P0.20.8所以E(Y)=42000.2+100000.8=8840.（3）安装3台发电机的情形.依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y=5000-1600=3400，因此P(Y=15000)=P(X120)=p3=0.1，由此得Y的分布列如下Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)=34000.2+92000.7+150000.1=8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.21.（）设点，依题意得，即， 化简整理得. 故点M的轨
15、迹C的方程为 （）在点M的轨迹C中，记，.依题意，可设直线的方程为 由方程组 可得 （1）当时，此时 把代入轨迹C的方程，得.故此时直线与轨迹恰好有一个公共点. （2）当时，方程的判别式为. 设直线与轴的交点为，则由，令，得. （）若 由解得，或.即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点. （）若 或 由解得，或.即当时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点.当时，直线与有两个公共点，与没有公共点. 故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点. （）若 由解得，或.即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有三个公共点. 综合（1）（2）可知，当
16、时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹恰好有三个公共点. 22.（）函数的定义域为因为，所以 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （）因为，所以，即，于是根据函数，在定义域上单调递增，可得，故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中 由及（）的结论，得，即由，得，所以；由，得，所以综上，6个数中的最大数是，最小数是（）由（）知，.又有（）知，得.故只需比较与和与的大小.由（）知，当0xe时，即.在上式中，令，又，则，从而，即得.由得，即e3,亦即，所以.又由得，即3，所以.综上可得，即6个数从小到大的顺序为.