1、【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点30直线的方程与两条直线的位置关系（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标直线的倾斜角与斜率的概念；直线方程的各种形式及适应条件；两直线平行与垂直的判定与应用；点到直线的距离公式、两点间的距离公式；直线方程各种形式适应条件的掌握；含参数的直线的位置关系的确定；二.知识梳理1数轴上两点间距离公式：2直角坐标平面内的两点间距离公式：3直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角当直线和x轴平行或重合时，我们规定
2、直线的倾斜角为0可见，直线倾斜角的取值范围是01804直线的斜率：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan（90）倾斜角是90的直线没有斜率；倾斜角不是90的直线都有斜率，其取值范围是（，+）5直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2x1，y2y1）称为直线的方向向量向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为(0,1) 6求直线斜率的方法定义法：已知直线的倾斜角为，且90，则斜率k=tan公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2
3、），且x1x2，则斜率k=方向向量法：若=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角=90；7直线方程的五种形式点斜式：， 斜截式：两点式：， 截距式：一般式：8特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角为0，两直线互相垂直9斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且
4、不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=且 已知直线、的方程为：，：的充要条件是 两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是已知直线和的一般式方程为：，：，则10.直线到的角的定义及公式：直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角. 到的角：0180， 如果如果， 11直线与的夹角定义及公式: 到的角是, 到的角是-,当与相交但不垂直时, 和-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线时,直线与的夹角是.夹角：090如果如果， 12两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程
5、所组成的方程组：是否有惟一解13点到直线距离公式：点到直线的距离为：14两平行线间的距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为 15直线系方程:若两条直线：，：有交点，则过与交点的直线系方程为或+ (为常数)。三考点逐个突破1.直线的倾斜角和直线的斜率例1.（1）直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是_答案2或1解析令x0得y2a，令y0得x，由条件知2a，a2或1.（2）若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是1530456075其中正确答案的序号为_(写出所有正确答案的序号)答案解析求得两平行线间的距离为
6、，则m与两平行线的夹角都是30，而两平行线的倾斜角为45，则m的倾斜角为75或15，故填.(3) 若三直线l：2x3y80，l2：xy10，l3：xkyk0能围成三角形，则k不等于A. B2 C.和1 D.、1和答案D解析由得交点P(1，2)，若P在直线xkyk0上，则k.此时三条直线交于一点；k时，直线l1与l3平行k1时，直线l2与l3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k，和1.（4）数yasinxbcosx的图象的一条对称轴方程为x，则直线axbyc0的倾斜角为A45 B60 C120 D 135答案D分析由函数的对称轴方程可以得到a、b的关系式，进而可求得直线axbyc0的斜
7、率k，再由ktan可求倾斜角.解析令f(x)asinxbcosx，f(x)的一条对称轴为x，f(0)f，即ba，1.直线axbyc0的斜率为1，倾斜角为135.2.直线方程的几种形式例2.(1) 过点A(3，1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y2x于点C，若|BC|2|AB|，求直线l的方程解析当k不存在时B(3,0)，C(3,6)此时|BC|6，|AB|1，|BC|2|AB|，直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y1k(x3)，令y0得B(3，0)，由得C点横坐标xc若|BC|2|AB|则|xBxC|2|xAxB|，|3|2|，3或3，解得k或k.所求直线l的方程为：3x2y70或x4y
8、70.(2) 已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1a2）的直线方程分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答解：P（2，3）在已知直线上， 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=02（a1a2）+3（b1b2）=0，即=所求直线方程为yb1=（xa1）2x+3y（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=03.两条直线的平行与垂直例3.（1） a2”是“直线2xay10与直线ax2y20平行”的 A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案B解析两直线平行的充要条件是
9、，即两直线平行的充要条件是a2.故a2是直线2xay10与直线ax2y20平行的充分不必要条件点评如果适合p的集合是A，适合q的集合是B，若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，若AB，则p，q互为充要条件，若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件（2）已知两条直线l1：axbyc0，直线l2：mxnyp0，则anbm是直线l1l2的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析l1l2时，anbm0；anbm0时 l1l2.故anbm是直线l1l2的必要不充分条件(3)已知直线a2xy20与直线bx(a21)y10互相垂直，则|ab|的最小值为A5B4C
10、2D1答案C解析由题意知，a2b(a21)0且a0，a2ba21，aba，|ab|a|a|2.(当且仅当a1时取“”)(4)已知a、b为正数，且直线(a1)x2y10与直线3x(b2)y20互相垂直，则的最小值为A12 B. C1 D25答案D解析两直线互相垂直，3(a1)2(b2)0，3a2b1，a、b0，()(3a2b)1313225.等号成立时，ab，故的最小值为25.4.两条直线相交例4. （1）已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10.试确定m、n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y轴上的截距为1.解析(1)由题意得解得当m
11、1，n7时，l1与l2相交于点P(1，1)(2)l1l2，得：m4，n2，或m4，n2.(3)l1l2m28m0，m0，则l1： 8yn0.又l1在y轴上的截距为1，则n8.综上知m0，n8.点评讨论l1l2时要排除两直线重合的情况处理l1l2时，利用l1l2A1A2B1B20可避免对斜率存在是否的讨论.（2）若三直线2x3y80，xy10，xkyk0相交于一点，则k的值为 A2 B C2 D.答案B解析由得交点P(1，2)，P在直线xkyk0上，k.（3）k为何值时，直线：yk3k2与直线：4y40的交点在第一象限.解：由两直线的交点在第一象限k1.即当k1时，两直线的交点在第一象限5.点到
12、直线距离公式、两平行线间的距离公式例5. （1）已知点A(0,2)，B(2,0)若点C在函数yx2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为A4B3C2D1答案A解析因为|AB|2，要使三角形面积是2，则C点到直线AB的距离为.直线AB的方程为xy20，设C点所在的直线方程为xym0，所以d，解得m0或m4，所以C点的轨迹为xy0，或xy40.又因为点C在函数yx2的图象上，xy0，和xy40与yx2分别有两个交点故这样的点共有4个点评可利用点到直线距离公式，转化为方程解的个数的判定（2）已知直线l1：(k3)x(4k)y10与直线l2：2(k3)x2y30平行，则l1与l2的距离为_答案
13、3或5解析由(k3)(2)2(k3)(4k)0，且21(4k)30，k3或5.当k3时，l1：y10，l2：2y30，此时l1与l2距离为：；当k5时，l1：2xy10，l2：4x2y30，此时l1与l2的距离为.(3) 求点P（3，2）到下列直线的距离： (1)y；（2）y6；（3）y轴.解：(1)把方程y写成34y10由点到直线的距离公式得d (2)因为直线y=6平行于轴，所以d6（2）8.（3）d33.说明：求点到直线的距离，一般先把直线的方程写成一般式，对于与坐标轴平行的直线， =a或y=b，求点到它们的距离，既可用点到直线的距离公式也可以直接写成dx0a或dy0b.(4) 求与直线：
14、5-12y+6=0平行且到的距离为2的直线的方程.解：设所求直线的方程为5-12y+c=0.在直线5-12y+6=0上取一点P0（0，），点P0到直线5-12y+c=0的距离为d=，由题意得=2.所以c=32或c=-20.所以所求直线的方程为5-12y+32=0和5-12y-20=0.说明：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离.即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离6.数形结合思想例6. 若曲线C1：x2y22x0与曲线C2：y(ymxm)0有4个不同的交点，则实数m的取值范围是A(，) B (，0)(0，) C， D(，)(，)答案B解析曲线C
15、1：(x1)2y21，图形为圆心为(1,0)，半径为1的圆；曲线C2：y0或者ymxm0，直线ymxm0恒过定点(1,0)，即曲线C2图象为x轴与恒过定点(1,0)的两条直线作图分析：k1tan30，k2tan30，又直线l1(或直线l2)、x轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知mk(，0)(0，)7.对称问题例7.（1）点P(3,4)关于直线xy20的对称点Q的坐标是A(2,1) B(2,5) C(2，5) D(4，3)答案B解析x242，y2(3)5，故选B.(2) 点关于直线的对称点是 A.（6，8） B.(8，6) C.（6，8） D.（6，8）解：设点关于直线的对称点为，由轴对称概
16、念的中点在对称轴上，且与对称轴垂直，则有 解得，故选D点评：对称问题可化为点关于点对称，点关于直线对称的问题8.直线过定点问题 例8.（1）求证：不论为什么实数，直线都通过一定点证法一：取1，得直线方程；再取，得直线方程为x9从而得两条直线的交点为(9，），又当9，时，有即点(9，）在直线上，故直线都通过定点(9，）证法二：，（x21）（x5）0，则直线都通过直线210与50的交点.由方程组，解得9，即过点(9，）所以直线经过定点(9，).证法三：（，（21）5由为任意实数，知关于的一元一次方程（21）5的解集为R，解得9，所以直线都通过定点(9，）（2）若，求证直线必经过一个定点.证明：由，且不同时为0，设0，则代入直线方程，得(）（1）0.此方程可视为过直线0与10的交点的直线系方程解方程组得1，1即两直线交点为(1，1），故直线过定点(1，1).点评：以上例题是直线系的应用问题.