1、1.1 直角坐标系,平面上的伸缩变换1.回顾在直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用.2.通过具体例子,了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况.1 2 1.直角坐标系(1)直线上点的坐标;(2)平面直角坐标系;(3)空间直角坐标系.名师点拨(1)直角坐标系的作用:使点与坐标(有序实数组)、曲线与方程建立了联系,从而实现了数与形的结合.(2)坐标法:根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(3)坐标法解决几何问题的步骤:第一步,建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化成代数问题;第二步,通过代数运算,解
2、决代数问题;第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论.1 2【做一做 1-1】已知平面内三点 A(2,2),B(1,3),C(7,x),且满足 ,则的值为()A.3B.6C.7D.9解析:=(1,1),=(5,2).,=5 (2)=0.=7.答案:C 1 2【做一做1-2】已知平行四边形ABCD,求证:AC2+BD2=2(AB2+AD2).证明如图,以边AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy,则A(0,0).设B(a,0),C(b,c),则D(b-a,c),AB2=a2,AD2=(b-a)2+c2,AC2=b2+c2,BD2=(b-2a)2+c2.AC2+BD2=4a2+2b2+2c2
3、-4ab=2(2a2+b2+c2-2ab),而AB2+AD2=2a2+b2+c2-2ab,AC2+BD2=2(AB2+AD2).1 2 2.平面上的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换.(2)平面上的伸缩变换:设点P(x,y)是平面上任意一点,在变 换 =,0,=,0 的作用下,点(,)对应到点(,),称为平面上的伸缩变换.1 2 答案:D 【做一做 2-1】由正弦曲线 y=sin x 得到 y=12 sin 12 的图象经过的变换为()A.将横坐标压缩为原来的 12,纵坐标也压缩为原来的 12B.将横坐标压缩为
4、原来的 12,纵坐标伸长为原来的 2 倍C.将横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标也伸长为原来的 2 倍D.将横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标压缩为原来的 121 2 答案:D 【做一做 2-2】将正弦曲线 y=sin x 作如下变换:=2,=13,得到的曲线方程为()A.Y=3sin 12 B.=13 sin 2C.Y=12 sin 2D.=13 sin 12 建立平面直角坐标系的方法 剖析一般情况下,有如下建立平面直角坐标系的方法:(1)当题目中有两条互相垂直的直线时,以这两条直线为坐标轴,建立平面直角坐标系;(2)当题目中有轴对称图形时,以轴对称图形的对称轴为坐标轴,建立平面直角坐标系;
5、(3)当题目中有长度已知的线段时,以线段所在的直线为x轴,以端点或中点为原点,建立平面直角坐标系.在建立平面直角坐标系时,应使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.平面直角坐标系建立完后,需仔细分析曲线的特征,注意揭示隐含条件.题型一 题型二 题型三 题型四 题型一用平面直角坐标系解决实际问题【例1】如图所示,A,B,C是三个观察站,A在B的正东方向,两地相距6 km,C在B的北偏西30方向,两地相距4 km,在某一时刻,A观察站发现某种信号,并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s后B,C两个观察站同时发现这种信号,在以过A,B两点的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系
6、中,指出发出这种信号的位置P的坐标.分析由题意可知,点P所在的位置满足两个条件:(1)在线段BC的垂直平分线上;(2)在以A,B为焦点的双曲线的右支上.题型一 题型二 题型三 题型四 解:设点 P 的坐标为(x,y),则 A(3,0),B(-3,0),C(-5,2 3).因为|PB|=|PC|,所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.因为线段 BC 所在直线的斜率为 kBC=3,的中点D(-4,3),所以直线 PD 的方程为 y 3=33(+4).又因为|PB|-|PA|=4,所以点 P 必在以 A,B 为焦点的双曲线的右支上,双曲线方程为 24 25=1(2).联立,解得 x=8 或 x=
7、3211(舍去),所以 y=5 3.所以点P 的坐标为(8,5 3).题型一 题型二 题型三 题型四 反思合理建立坐标系是我们解决此类问题的关键,若坐标系建立得合理,则可以简化我们的计算,并且使问题的结论清晰明了、具体形象,反之,将会带来计算的烦琐,结果也不明确.题型一 题型二 题型三 题型四 题型二平面直角坐标系下的轨迹问题【例2】ABC的顶点A固定,点A的对边BC的长是2a,边BC上的高是b,边BC沿一条直线移动,求ABC外心的轨迹方程.解:以边BC所在的定直线为x轴,过A作x轴的垂线为y轴,建立直角坐标系,则点A的坐标为(0,b).设ABC的外心为M(x,y).取BC的中点N,则MNBC
8、,即MN是BC的垂直平分线.|BC|=2a,|BN|=a,|MN|=|y|.又M是ABC的外心,|MA|=|MB|.题型一 题型二 题型三 题型四 反思解决求轨迹方程的问题,在掌握求轨迹方程的一般步骤的基础上,还要注意:(1)选择恰当的坐标系,坐标系如果选择得恰当,可使解题过程简化,减少计算量;(2)要注意给出轨迹的范围,在限定范围的基础上求轨迹方程.若只求出轨迹方程,而没有根据题目要求,确定出x,y的取值范围,则最后的结论是不完备的.又|MA|=2+(-)2,|MB|=|2+|2=2+2,2+(-)2=2+2,化简,得所求的轨迹方程为x2-2by+b2-a2=0.题型一 题型二 题型三 题型
9、四 题型三平面上的伸缩变换【例 3】在同一平面直角坐标系下经过伸缩变换 =3,=12 后,圆2+2=1 变成了什么曲线?分析将伸缩变换中的x,y分别用X,Y表示,代入已知的曲线方程,即可得到所求曲线的方程,再由方程判断曲线的类型.题型一 题型二 题型三 题型四 解:=3,=12,=13,=2,代入圆的方程 x2+y2=1,得 13 2+2 2=1,29+42=1.经过伸缩变换 =3,=12 后,圆 x2+y2=1 变成了椭圆 29+42=1.题型一 题型二 题型三 题型四 题型四易错辨析【例4】在平面直角坐标系中,求方程x+y+2=0所对应的图形经过伸缩变 错解直线x+8y+4=0.错因分析点
10、(x,y)在原曲线上,点(X,Y)在变换后的曲线上,因此点(x,y)的坐标满足原曲线的方程,点(X,Y)的坐标适合变换后的曲线方程.错解混淆了(x,y)和(X,Y)的含义.换 =12,=4后的图形.题型一 题型二 题型三 题型四 正解由坐标伸缩变换 =12,=4得 =2,=14.代入 x+y+2=0,得 2X+14 +2=0,即 8X+Y+8=0.故经过伸缩变换 =12,=4后,直线 x+y+2=0 变成了直线8X+Y+8=0.123451.点P(1,-2)关于点A(-1,1)的对称点P的坐标为()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)答案:B 123452.在平面直
11、角坐标系中,已知点A(-1,3),点B(3,1),点C在坐标轴上,ACB=90,则满足条件的点C的个数是()A.1B.2 C.3D.4 12345解析:若点C在x轴上,可设点C的坐标为(x,0),由ACB=90,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,有(-1-3)2+(3-1)2=(x+1)2+(0-3)2+(x-3)2+(0-1)2,解得x1=0,x2=2.点C的坐标为(0,0)或(2,0).若点C在y轴上,可设点C的坐标为(0,y),由ACB=90,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,有(-1-3)2+(3-1)2=(0+1)2+(y-3)2+(0-3)2+(y-1)2,解得y1=0,y
12、2=4.点C的坐标为(0,0)或(0,4).故满足条件的点C的个数为3.答案:C 123453.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 =5,=3 后,曲线变为曲线2+2=1,则曲线的方程为()A.25x2+9y2=1B.9x2+25y2=1C.25x+9y=1D.225+29=1解析:将伸缩变 代入X2+Y2=1,得25x2+9y2=1.答案:A 换 =5,=3 123454.已知函数 f(x)=(-1)2+1+(+1)2+1,则()的最小值为 .解析:函数 f(x)可看作是平面直角坐标系中 x 轴上一点(x,0)到两定点(1,1)和(-1,1)的距离之和,结合图形可得,f(x)的最小值为 2 2.答案:2 2123455.在同一平面直角坐标系中,将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线X2-Y2-4X+3=0,求满足条件的伸缩变换.解:x2-36y2-8x+12=0 可化为 -42 2 92=1.X2-Y2-4X+3=0 可化为(X-2)2-Y2=1.比较,可得 -2=-42,=3,即 =2,=3.所以将曲线 x2-36y2-8x+12=0 上所有点的横坐标变为原来的 12,纵坐标变为原来的3 倍,就可得到曲线 X2-Y2-4X+3=0.