1、第六节 空间向量及其运算1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.1把空间中具有和的量叫2(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是大小方向向量存在实数，使ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使3空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使.推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点
2、，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x、y、z，使OP xOA yOB zOC.pxayb.pxaybzc4两个向量的数量积非零向量a、b的数量积ab向量的数量积的性质：ae；ab；|a|2.|a|b|cosa，b|a|cosa，e，e为单位向量ab0aa向量的数量积满足如下运算律：(a)b；ab(交换律)；a(bc)(分配律)5空间向量的直角坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)则(ab)baabacab；ab；ab，特殊地aa；ab(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)a1b1a2b2a3b3a12a22a32 a1b1，a2b2，a
3、3b3(R，b0)或a1b1a2b2a3b3(b1b2b30)；ab；A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)6向量a与b的夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则cosa，ba1b1a2b2a3b30(a0，b0)ABOB OA(x2，y2，z2)(x1，y1，z1)(x2x1，y2y1，z2z1)a1b1a2b2a3b3a12a22a32 b12b22b327两点距离公式设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间两点，则|AB|ABABx2x12y2y12z2z12.1与向量 a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是()A(13，1,1)B(1，3,2)C
4、(12，32，1)D(2，3，2 2)解析：可知12a(12，32，1)，选 C.答案：C2如右图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为AC 与 BD 的交点，若A1B1 a，A1D1 b，A1A c，则下列向量与B1M 相等的向量是()A12a12bcB.12a12bcC.12a12bcD12a12bc解析：B1M B1A1 A1A AMB1A1 A1A 12ACB1A1 A1A 12(ABAD)ac12(ab)c12a12b.答案：A 3若空间三点A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(p,3，q2)共线，则()Ap3，q2Bp2，q3Cp3，q2Dp2，q3解析：由已知
5、得存在 R，使ABAC，(1，1,3)(p1，2，q4)，1p1123q4，解得 p3，12，q2.答案：A4若向量 a(1，2)，b(2，1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为89，则 等于()A2 B2C2 或 255D2 或 255解析：由已知得89 ab|a|b|2452 9，8 523(6)，解得 2 或 255.答案：C5已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)且kab与2ab互相垂直，则k_.解析：kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)，2ab(2,2,0)(1,0,2)(3,2，2)由(kab)(2ab)0得3(k1)2k40.k75.答案：75用已知向量表示未
6、知向量，一定要结合图形可从以下角度入手：1要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来2把要表示的向量标有封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系3用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘热点之一 空间向量的线性运算例 1 如右图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，设AA1 a，ABb，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N；(3)MP NC1.思路探究 根据空间向量的加、
7、减及数乘运算的法则和运算律即可解题过程中要注意观察所涉及的向量在图形中的位置特点，选取适当的三角形(或平行四边形)，从而找出恰当的解题途径课堂记录(1)P是C1D1的中点，APAA1 A1D1 D1P aAD 12D1C1 ac12ABac12b.(2)N 是 BC 的中点，A1N A1A ABBN ab12BCab12AD ab12c.(3)M 是 AA1 的中点，MP MA AP12A1A AP12a(ac12b)12a12bc，又NC1 NC CC1 12BCAA1思维拓展 注意向量加减法中的方向，还有向量首尾12AD AA1 12ca，MP NC1(12a12bc)(a12c)32a1
8、2b32c.即时训练如右图，已知 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面外一点，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形的中心 O，Q 是 CD 的中点，求下列命题中 x，y 的值：(1)OQ PQ xPCyPA；(2)PAxPO yPQ PD.解：(1)OQ PQ POPQ 12(PAPC)PQ 12PA12PC.xy12.(2)PAPC2PO，PA2PO PC.又PCPD 2PQ，PC2PQ PD，从而有PA2PO(2PQ PD)2PO 2PQ PDx2，y2.热点之二 共线定理、共面定理的应用应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面1证明空间任意三点共线的
9、方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线(1)PAPB；(2)对空间任一点 O，OP OA tAB；(3)对空间任一点 O，OP xOA yOB(xy1)2证明空间四点共面的方法对空间四点 P，M，A，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)MP xMA yMB；(2)对空间任一点 O，OP OM xMA yMB；(3)对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB(xyz1)；(4)PM AB(或PAMB 或PBAM)例2 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点用向量法证明：E，F，G，H四点共面思路探究 空间向量的概念空间向量的
10、线性运算共面向量定理课堂记录 如右图所示，连接BG，EG，则EG EBBGEB12(BCBD)EBBF12BDEFEH.由共面向量定理知 E，F，G，H 四点共面思维拓展 证明共面问题，关键是要利用好共面向量定理，即只要存在实数 x，y，使得EG xEFyEH 即可也可用其推论，如对空间中一点 O，有OG xOE yOF zOH(xyz1)即可如本例可由AG xAEyAFzAH，只需求得 x、y、z 满足 xyz1 即可即时训练已知 A、B、C 三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点 P 是否一定与 A、B、C 共面？(1)OP 25OA 15OB 25OC；(2)OP 2OA 2OB
11、 OC.解：(1)原式变形为OP 25OA 15(OA AB)25(OA AC)OA15AB25AC，AP15AB25AC.由共面向量定理的推论知 P 与 A、B、C 共面(2)原式变形为OP 2OA 2(OA AB)(OA AC)OA 2ABACP与A、B、C三点不共面热点之三 空间向量数量积的应用用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题(1)求向量 m 和 n 所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量 m 和 n 用该组基底表示出来，再求其自身的数量积及长度，最后利用公式 cosm，n mn|m|n|.(2)在向
12、量性质中|a|2aa提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题例3(2010珠海模拟)已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面边长AB2，AB1BC1，点O、O1分别是边AC、A1C1的中点，建立如右图所示的空间直角坐标系(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)若 M 为 BC1 的中点，试用基向量AA1、AB、AC表示向量AM；(3)求异面直线 AM 与 BC 所成的角课堂记录(1)设正三棱柱的侧棱长为 a，则A(0，1,0)，B1(3，0，a)，B(3，0,0)，C1(0,1，a)，AB1(3，1，a)，BC1(3，1，a)AB1BC1，AB
13、1 BC1，AB1 BC1 0，即31a20，a 2.即正三棱柱侧棱长为 2，(2)AM ABBM AB12BC1 AB12(BCCC1)AB12(ACABAA1)12AB12AC12AA1，(3)由条件知，AB，BC120，AC，BC60，BC，AA1 90.AM BC(12AB12AC12AA1)BC12(ABBCACBCAA1 BC)12(221222120)0，AM BC，即异面直线 AM 与 BC 所成角为 90.即时训练如右图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点(1)用向量法证明平面A1BD平面B1CD1；(2)用向量法证明MN平面A1BD.证明：
14、(1)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BD AD AB，B1D1 A1D1 A1B1，又AD A1D1，ABA1B1，BD B1D1，BDB1D1.同理可证 A1BD1C，又 BDA1BB，B1D1D1CD1，所以平面 A1BD平面 B1CD1.(2)MN MB BCCN 12ABAD 12(CBCC1)12ABAD 12(AD AA1)12AB12AD 12AA1.设ABa，AD b，AA1 c，则MN 12(abc)又BD AD ABba.MN BD 12(abc)(ba)12(b2a2cbca)又A1AAD，A1AAB，cb0，ca0.又|b|a|，b2a2，b2a20.MN B
15、D 0，MNBD.同理可证，MNA1B，又A1BBDB，MN平面A1BD.向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂直、三点共线、四点共面，以及求角等问题，而利用向量解决立体几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题例 4(2010辽宁高考)已知三棱锥 PABC 中，PA平面ABC，ABAC，PAAC12AB，N 为 AB 上一点，AB4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点(1)证明：CMSN；(2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小解 设 PA1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系如右图则 P(0,0
16、,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，12)，N(12，0,0)，S(1，12，0)(1)证明：CM(1，1，12)，SN(12，12，0)，因为CM SN121200，所以 CMSN.(2)NC(12，1,0)，设 a(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，则xy12z0，12xy0，令 x2，得 a(2,1，2)因为|cosa，SN|1123 22 22，所以 SN 与平面 CMN 所成角为 45.1(2010北京高考)如右图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB 2，CEEF1.(1)求证：AF平面 BDE；(2)求证：
17、CF平面 BDE；(3)求二面角 ABED 的大小所以四边形AGEF为平行四边形，所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.解：(1)设 AC 与 BD 交于点 G.因为 EFAG，且 EF1，AG12AC1，(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如下图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.所以CFBE，CFDE，又BEDEE，所以CF平面BDE.则 C(0,0,0)，A(2，2，0)，B(0，2，0)，D(2，0,0)，E(0,0,1)，F(22，22，1)所以CF(22，22，1)，BE(0，2，1)，DE(2，0,1)所以CFBE0110，CFDE 1010，(3)由(2)知，CF(22，22，1)是平面 BDE 的一个法向量设平面 ABE 的法向量 n(x，y，z)，则 nBA0，nBE0，即x，y，z 2，0，00，x，y，z0，2，10.所以 x0，且 z 2y.令 y1，则 z 2，所以 n(0,1，2)从而 cosn，CF nCF|n|CF|32.因为二面角 ABED 为锐角，所以二面角 ABED 的大小为6.