1、考点测试4基本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题1若0a，则a(12a)的最大值是()A B C D1答案A解析由0a0，则a(12a)2a(12a)，当且仅当a时取等号故选A.2已知m0，n0，2mn1，则的最小值为()A4 B2 C D16答案C解析由于m0，n0，2mn1，则(2mn)2，当且仅当n，m时取等号故选C.3设x0，则函数yx的最小值为()A0 B C1 D答案A解析由于x0，则yx2220，当且仅当x，即x时等号成立所以函数y的最小值为0.故选A
2、.4已知a0，b0，若不等式恒成立，则n的最大值为()A9 B12 C16 D20答案A解析因为a0，b0，所以2ab0，(2ab)n，(2ab)5529(当且仅当ab时，取等号)，要想不等式恒成立，只需n9，即n的最大值为9.故选A.5若3x2y2，则8x4y的最小值为()A4 B4 C2 D2答案A解析3x2y2，8x4y23x22y224，当且仅当3x2y，即x，y时等号成立，8x4y的最小值为4.故选A.6已知向量a(1，x1)，b(y，2)，其中x0，y0.若ab，则xy的最大值为()A B C1 D2答案B解析因为a(1，x1)，b(y，2)，ab，所以aby2(x1)0，即2xy
3、2又因为x0，y0，所以2xy2，当且仅当x，y1时等号成立，即22，所以xy，所以当且仅当x，y1时，xy取到最大值，最大值为.故选B.7若a0，b0，且，则a2b2的最小值为()A2 B2 C4 D4答案C解析a0，b0，2，ab2，当且仅当ab时等号成立，a2b22ab4，当且仅当ab时等号成立综上，a2b2的最小值为4.故选C.8已知函数f(x)cosx(0x2)，若ab，且f(a)f(b)，则的最小值为()A B9 C18 D36答案A解析函数f(x)cosx(0x2)的图象的对称轴为直线x1.因为ab，且f(a)f(b)，所以ab2，所以(ab)，当且仅当a，b时取等号，故的最小值
4、为.故选A.9(多选)设x(0，)，y(0，)，Sxy，Pxy，以下四个命题中正确的是()A若P1，则S有最小值2B若SP3，则P有最大值1C若S2P，则S有最小值4D若SP3，则S有最大值2答案AB解析对于A，若xy1，则Sxy22(当且仅当xy1时取等号)，故A正确；对于B，若xyxy3，则3xyxy2xy，解得04，所以B不符合题意；对于C，因为y2x22x24，当且仅当2x22x，即x2x，x1时取等号，所以ymin4，所以C符合题意；对于D，当0x1时，ln x0，yln x0，所以D不符合题意14(2021浙江高考)已知，是互不相同的锐角，则在sin cos ，sin cos ，s
5、in cos 三个值中，大于的个数的最大值是()A0 B1 C2 D3答案C解析因为，是互不相同的锐角，所以sin，cos ，sin ，cos ，sin ，cos 均为正数由基本不等式可知sin cos ，sincos ，sincos .三式相加可得sincos sin cos sin cos ，当且仅当sin cos ，sin cos ，sin cos ，即时取等号，因为，是互不相同的锐角，所以sin cos sin cos sin cos ，所以这三个值不会都大于.若取，则sin cos ，sin cos ，sincos ，所以这三个值中大于的个数的最大值为2.故选C.15(2020上海高
6、考)下列不等式恒成立的是()Aa2b22ab Ba2b22abCab2 Da2b22ab答案B解析显然当a0时，不等式a2b22ab不成立，故A错误；(ab)20，a2b22ab0，a2b22ab，故B正确；显然当a0，b0，b0时，不等式a2b22ab不成立，故D错误故选B.16(多选)(2020新高考卷)已知a0，b0，且ab1，则()Aa2b2 B2abClog2alog2b2 D 答案ABD解析对于A，a2b2a2(1a)22a22a12，当且仅当ab时，等号成立，故A正确；对于B，ab2a11，所以2ab21，故B正确；对于C，log2alog2blog2ablog2log22，当且
7、仅当ab时，等号成立，故C不正确；对于D，因为()2121ab2，所以，当且仅当ab时，等号成立，故D正确故选ABD.17(2021天津高考)若a0，b0，则b的最小值为_答案2解析a0，b0，b2bb22，当且仅当且b，即ab时等号成立，b的最小值为2.三、模拟小题18(2022浙江杭州富阳中学高三上第一次二校联考)已知正实数a，b满足6，则(a1)(b9)的最小值是()A8 B16 C32 D36答案B解析因为正实数a，b满足6，所以62，即1，当且仅当时，即a，b3时取等号因为6，所以b9a6ab，所以(a1)(b9)9abab97ab97916.故(a1)(b9)的最小值是16.故选B
8、.19(2022湖北新高考联考协作体高三上新起点考试)已知a0，b0且ab1，若不等式m恒成立，mN*，则m的最大值为()A3 B4 C5 D6答案A解析不等式m恒成立，m，又ab1，a0，b0(ab)11224，当且仅当ab时等号成立，4，m0，y0，且x4yxy0，若不等式axy恒成立，则a的取值范围是()A(，6 B(，7C(，8 D(，9答案D解析x0，y0，x4yxy0，1，xy(xy)5.24(当且仅当，即x2y6时取等号)，xy549.又不等式axy恒成立，a9.21(2022辽宁六校高三上学期期初联考)已知定义在R上的偶函数f(x)|xm1|2，若正实数a，b满足f(a)f(2
9、b)m，则的最小值为()A BC D答案B解析f(x)为R上的偶函数，f(x)f(x)，即|xm1|2|xm1|2，即(xm1)2(xm1)2，整理得2(m1)x2(m1)x，m1，f(x)|x|2.f(a)f(2b)a22b21，即a2b5.(a2b)(当且仅当，即2ba时取等号)，的最小值为.故选B.22(多选)(2021湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(ab)，其全程的平均速度为v，则()Aav BvCv0，y0)，所以4x9y212.等号成立的条件为4x9y，即x，y时取得最小值26(2022河北正定中学高三开学考试)已知x，y0，且，则
10、xy的最小值为_答案5解析xy2(x3)y323235，当且仅当，即x1，y4时，等号成立，所以xy的最小值为5.一、高考大题1(2020全国卷)设a，b，cR，abc0，abc1.(1)证明：abbcca0；(2)用maxa，b，c表示a，b，c中的最大值，证明：maxa，b，c .证明(1)(abc)2a2b2c22ab2ac2bc0，abbcca(a2b2c2).由abc1得a，b，c均不为0，则a2b2c20，abbcca(a2b2c2)0.(2)不妨设maxa，b，ca，由abc0，abc1可知，a0，b0，c0.abc，a，a3a2a4.当且仅当bc时，取等号，a，即maxa，b，
11、c.2(2019全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.当且仅当abc1时，等号成立所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ca)3(2)(2)(2)24.当且仅当abc1时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.二、模拟大题3(2022福建龙岩高三检测)已知x，y(0，)，x2y2xy.(1)求的最小值；(2)是否存在x，y满足(x1)
12、(y1)5？并说明理由.解(1)因为2，当且仅当xy1时，等号成立，所以的最小值为2.(2)不存在理由如下：因为x2y22xy，所以(xy)22(x2y2)2(xy).又x，y(0，)，所以0xy2.从而有(x1)(y1)4，当且仅当xy1时，等号成立因此不存在x，y满足(x1)(y1)5.4(2021广东省珠海市高三模拟)某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值(不含运费)成正比，比例系数为k，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元(1)求k的值
13、；(2)请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应的最少费用解(1)由题意，当每批购入400台时，全年的运费为4003600(元)，每批购入的电视机的总价值为4002000800000(元)，所以保管费为k800000(元).因为全年需要支付运费和保管费共43600元，所以3600k80000043600，解得k0.05.(2)设每批进货x台，则运费为400，保管费为0.052000x100x.所以支付运费与保管费的和为100x，因为100x224000，当且仅当100x，即x120时取到等号，所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元5.(
14、2021江苏镇江模拟)某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的矩形AMPN健身场地如图，点M在AC上，点N在AB上，且点P在斜边BC上已知ACB60，|AC|30米，|AM|x米，x10，20.设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为元(k为正常数).(1)试用x表示S，并求S的取值范围；(2)写出总造价T与面积S的函数关系式；(3)如何选取|AM|，才能使总造价T最低(不要求求出最低造价)?解(1)在RtPMC中，显然|MC|30x，PCM60，|PM|MC|tan PCM(30x)，矩形AMPN的面积S|PM|AM|x(30x)，x10，20，由x(30x)225，可知当x15时，S取得最大值，为225，当x10或20时，S取得最小值，为200，200S225，即S的取值范围为200，225.(2)矩形AMPN健身场地造价T137k，又ABC的面积为3030450，草坪造价T2(450S).总造价TT1T225k，200S225.(3)12，当且仅当，即S216时等号成立，此时x(30x)216，解得x12或x18.选取|AM|为12米或18米时，能使总造价T最低