1、第二章质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列等式恒成立的是()A.0B.C(ab)ca(bc)D(ab)cacbc解析：由数量积满足分配律可知D正确答案：D2已知|a|2，|b|6，ab18，则a与b的夹角是()A120B150C60 D30解析：cos150.答案：B3已知i(1,0)，j(0,1)，则与2i3j垂直的向量是()A3i2j B2i3jC3i2j D2i3j解析：2i3j(2,3)，C中3i2j(3,2)因为2(3)320，所以2i3j与3i2j垂直答案：C4点O是A
2、BC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的()A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点解析：()00.同理可得，.因此点O是ABC的垂心故选D.答案：D5已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3，4)，且c1a2b，则1，2的值分别为()A2,1 B1，2C2，1 D1,2解析：因为c1a2b，则有(3，4)1(1,2)2(2,3)(122,2132)，所以解得11，22.答案：B6已知向量a(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab，则b等于()A. B.C. D(1,0)解析：令b(x，y)(y0)，则将代入得x2(x)21，即2x23x10
3、，x1(舍去，此时y0)或xy.答案：B7向量a与b不共线，akb，lab(k，lR)，且与共线，则k，l应满足()Akl0 Bkl0Ckl10 Dkl10解析：因为与共线，所以设(R)，即lab(akb)akb，所以(l)a(1k)b0.因为a与b不共线，所以l0且1k0.消去得1lk0，所以kl10.答案：D8已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b夹角的取值范围是()A. B.C. D.解析：设a与b的夹角为，|a|24ab0，ab，cos.0，.答案：B9如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()A.B.C.D.解析：由于，
4、故其数量积是0，可排除C；与的夹角是，故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，则|cos30a2，|cos60a2.答案：A10在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B45，AB2CD2，M为腰BC的中点，则()A1 B2C3 D4解析：由已知得BC，BCD135，所以()()cos1801cos1352cos4521cos02.答案：B11已知AD、BE分别是ABC的边BC、AC上的中线，设a，b，则等于()A.abB.abC.abDab解析：22()2222a2b，ab.答案：B12设向量a与b的夹角为，定义a与b的“向量积”：ab是一个向量，它的模|ab|a|b|sin，若
5、a(，1)，b(1，)，则|ab|()A. B2C2 D4解析：cos，sin，|ab|222.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_.解析：|，ABC是以A为直角顶点的三角形，又M是BC的中点，则|42.答案：214在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1，那么c_.解析：由题知2，即()22c|.答案：15在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E为CD的中点，则_.解析：以A为原点，AB所在的直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系则由A(0,0)、B(2,0)、E(2，)、
6、D(1，)、可得1.答案：116如图，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_解析：()，.M、O、N三点共线，mn2.答案：2三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值. 解析：方法一：|3a2b|3，9a212ab4b29.(2分)又|a|b|1，ab.|3ab|2(3ab)29a26abb296112.(8分)|3ab|2.(10分)方法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)|a|b|1，xyxy1.3a2b(3x12
7、x2,3y12y2)，|3a2b|3.x1x2y1y2.(5分)|3ab|2.(10分)18(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，|2|2，OAB，(1，)(1)求点B，C的坐标；(2)求证：四边形OABC为等腰梯形解析：(1)设B(xB，yB)，则xB|cos(OAB)，yB|sin(OAB)，(1，)，B，C.(6分)(2)证明：连接OC.，3，.又|，|2，四边形OABC为等腰梯形(12分)19(本小题满分12分)两个力F1ij，F24i5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)求：(1)F1，F2分别对该
8、质点所做的功；(2)F1，F2的合力F对该质点所做的功解析：(720)i(015)j13i15j.(1)F1所做的功W1F1sF1(ij)(13i15j)28(J)；(3分)F2所做的功W2F2sF2(4i5j)(13i15j)23(J)(6分)(2)因为FF1F25i4j，所以F所做的功WFsF(5i4j)(13i15j)5(J)(12分)20(本小题满分12分)在直角坐标系中，已知(4，4)，(5,1)，在方向上的投影为|，求的坐标解析：设点M的坐标为M(x，y)在方向上的投影为|，0.(x，y)，(5x,1y)，x(5x)y(1y)0.(6分)又点O、M、A三点共线，解之，可得(52,1
9、2)(3,3)(12分)21(本小题满分12分)已知a(2,3)，b(x,2)，(1)当a2b与2ab平行时，求x的值；(2)当a与b夹角为锐角时，求x的取值范围解析：(1)由题意得：a2b(22x，1)，2ab(4x,8)，由a2b与2ab平行得：(22x)8(1)(4x)0，x.(6分)(2)由题意得，即x3且x.(12分)22(本小题满分12分)已知向量a(，1)，b.(1)求证：ab；(2)是否存在不等于0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy？如果存在，试确定k与t的关系；如果不存在，请说明理由解析：(1)证明：ab(，1)0，ab.(4分)(2)假设存在非零实数k，t，使xy，则a(t23)b(katb)0.整理得ka2tk(t23)abt(t23)b20.(6分)又ab0，a24，b21.4kt(t23)0，(8分)即k(t33t)(t0)，(10分)故存在非零实数k，t，使xy成立，其关系为k(t33t)(t0)(12分)