1、考点测试9函数的奇偶性与周期性高考概览本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性一、基础小题1定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)f(3x)，f(2021)2，则f(1)的值是()A1 B2 C1 D2答案B解析奇函数f(x)满足f(x)f(3x)f(x)，f(x3)f(x6)f(x)，则f(2021)f(1)f(1)2，则f(1)2.故选B.2设函数f(x)若f(x)是奇函数，则g(3)的值是()A1 B3C3 D
2、1答案C解析因为函数f(x)且f(x)是奇函数，所以f(3)f(3)，所以log2(13)g(3)1，则g(3)3.故选C.3已知f(x)不是常数函数，xR有f(8x)f(8x)且f(4x)f(4x)，则f(x)满足()A是奇函数不是偶函数B是奇函数也是偶函数C是偶函数不是奇函数D既不是奇函数也不是偶函数答案C解析f(8x)f(8x)，则f(x)的图象关于直线x8对称，f(4x)f(4x)，则f(x)的图象关于直线x4对称，则f(x)的图象关于直线x0对称，是偶函数，又f(x)不是常数函数，则f(x)不能恒等于0，不是奇函数故选C.4已知函数f(x)的定义域为R.当x时，ff，则f(6)()A
3、2 B1 C0 D2答案D解析当x0时，x，所以ff，即f(x1)f(x)，所以f(6)f(5)f(4)f(1)f(1)2.故选D.5若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)()Aexex B(exex)Cexex D(exex)答案D解析因为f(x)g(x)ex，所以f(x)g(x)f(x)g(x)ex，所以g(x)(exex).故选D.6已知偶函数f，当x时，f(x)xsin x，设af(1)，bf(2)，cf(3)，则()Aabc BbcaCcba Dcab答案D解析当x时，ysin x为增函数，yx也为增函数，函数f(x)xsin x在上也为增函
4、数函数f为偶函数，ff，f(x)的图象关于直线x对称，f(2)f(2)，f(3)f(3)，0312，f(3)f(1)f(2)，即cab.故选D.7已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0上是增函数，若不等式f(a)f(x)对任意x1，2恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1 B1，1C(，2 D2，2答案B解析因为函数f(x)为偶函数，且在(，0上是增函数，所以函数f(x)在0，)上是减函数，则不等式f(a)f(x)对任意x1，2恒成立等价于f(a)f(x)maxf(1)，所以|a|1，解得1a1，即实数a的取值范围为1，1.故选B.8定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)f(x2
5、)，当x3，4时，f(x)2x，则下列不等式中正确的是()AffCf(sin 1)f(cos 1)Dff答案C解析x3，4时，f(x)2x，故偶函数f(x)在3，4上是增函数，T2，偶函数f(x)在1，0上是增函数，f(x)在0，1上是减函数对于A，0sin cos f；对于B，1sin cos 0，fsin 1cos 10，f(sin 1)f(cos 1)；对于D，0cos sin f.故选C.9(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x1)与f(x2)都为奇函数，则()Af(x)为奇函数 Bf(x)为周期函数Cf(x3)为奇函数 Df(x4)为偶函数答案ABC解析f(x1)与f(x2)都为
6、奇函数，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)，由可得f(x1)1f(x11)，即f(x)f(x2)，由得f(x)f(x2)，f(x)的周期为2，f(x)f(x2)f(x)，则f(x)为奇函数，f(x1)f(x3)，则f(x3)为奇函数故选ABC.10(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在2，0上是增函数，下列关于f(x)的判断正确的是()Af(x)的图象关于点P(1，0)对称Bf(0)是函数f(x)的最大值Cf(x)在2，3上是减函数Df(x0)f(4kx0)，kZ答案ABD解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)f(x)，又f(x2)f(x)，所以f(
7、x2)f(x)，所以f(x)的图象关于点P(1，0)对称，所以A正确；由f(x2)f(x)知，f(x4)f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)f(4kx0)(kZ)，所以D正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在2，0上是增函数，所以f(x)在2，4上也是增函数，因此C不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在0，2上是减函数，所以f(x)在2，2上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以B正确故选ABD.11若f(x)x ln (x)为偶函数，则实数a_答案1解析因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)0恒成立，所以x ln (x)
8、x ln (x)0恒成立，所以x ln a0恒成立，所以ln a0，即实数a1.12已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(4，4)，且在(4，0上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)0的解集是_答案(4，2)(0，2)解析当x(4，0)时，f(x)g(x)0，又g(x)0，所以4x2；当x0时，g(x)0，则f(x)g(x)0，不符合题意，舍去；当x(0，4)时，f(x)g(x)0，则f(x)0，所以0x0，a1)，则f(1)()A1 B0 C1 D2答案C解析由已知可得f(1)g(1)a2a21，f(1)g(1)a2a21，因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f
9、(1)g(1)a2a21，联立解得f(1)1.故选C.19(2022河北衡水深州长江中学高三上开学考试)已知函数yf(x1)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(，1)上单调递减，f(2)0，则f(x)f(x1)0的解集为()A.(2，1)(0，1) B(1，0)(1，2)C(1，2) D(2，1)答案B解析因为函数yf(x1)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x1对称由f(x)在(，1)上单调递减，得f(x)在(1，)上单调递增，且f(0)f(2)0，所以当x2时，f(x)0，当0x2时，f(x)0.函数f(x)的图象如图所示，f(x)f(x1)0等价于或即或解得1x0或1x0)，满足f(x
10、)sin xf(x)，即是奇函数；根据最小正周期T2，可得.故函数可以是f(x)A sin x(A0)中的任一个，可取f(x)sin x.25(2022河北邯郸高三上开学摸底考试)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)，当x(0，2时，f(x)2x，则f(0)_，f_答案2解析函数f(x)满足f(x2)，可得f(x4)f(x)，所以函数的周期T4，所以f(0)，ff(log433)f(log431)2log43122log2322log232.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2022上海徐汇区模拟)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) ；(2)f(x)；(3)f
11、(x)解(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得f(x)的定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x).综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，f(x)为奇函数2(2022安徽省巢湖市第四中学模拟)已知函数f(x)是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函
12、数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，则x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)由(1)可画出f(x)的图象如图所示，知f(x)在1，1上是增函数，要使f(x)在1，a2上单调递增结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1，3.3(2021山东临沂高三阶段考试)设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积解(1)由f(x2)f(x)，得f(x4
13、)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x).从而可知函数f(x)的图象关于直线x1对称.又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示设当4x4时，f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积为S，则S4SOAB44.4(2021青海模拟)设f(x)是定义在R上不恒为0的奇函数，对任意实数x都有ff恒成立.(1)证明f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值；(3)若g(x)x2ax3，且y|f(x)|g(x)是偶函数，求实数a的值解(1)由ff，且f(x)f(x)，知f(3x)fff(x)f(x)，所以f(x)是周期函数，且T3是其一个周期(2)因为f(x)为定义在R上不恒为0的奇函数，所以f(0)0，且f(1)f(1)2，又因为T3是f(x)的一个周期，所以f(2)f(3)f(1)f(0)202.(3)因为y|f(x)|g(x)是偶函数，且|f(x)|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数.故g(x)x2ax3为偶函数，即g(x)g(x)恒成立，于是(x)2a(x)3x2ax3恒成立于是2ax0恒成立，所以实数a0.