1、山西省太原市2021届高三数学模拟考试试题（二）理（含解析）一、选择题（每小题5分）.1已知复数z满足z（1+i）2i，则z的共轭复数等于（）A1+iB1iC1+iD1i2已知集合A（x，y）|yx2，B（x，y）|yx，则AB（）A0，1B（0，0），（1，1）C1D（1，1）3已知斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数列（即a1a21，an+2an+1+an（nN*）的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等如图为该螺旋线
2、的一部分，则第七项所对应的扇形的弧长为（）ABCD44在等差数列an中，a1+a222，a2+a42，则a5（）A3B4C5D75从1，2，3，4，5这5个数中随机抽取2个数，分别记为m，n，则为整数的概率为（）ABCD6已知点P（m，m）（m0）是抛物线y22px（p0）上一点，且点P到该抛物线焦点的距离为30，则p（）A10B12C20D307已知函数yf（x）部分图象的大致形状如图所示，则yf（x）的解析式最可能是（）Af（x）Bf（x）Cf（x）Df（x）8已知圆M：（xa）2+（yb）23（a，bR）与圆O：x2+y21相交于A，B两点，且|AB|，给出以下结论：是定值；四边形OAM
3、B的面积是定值；a+b的最小值为；ab的最大值为2，则其中正确结论的个数是（）A0B1C2D39在钝角ABC中，a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，点G是ABC的重心，若AGBG，则cosC的取值范围是（）A（0，）B，）C（，1）D，1）10已知三棱锥ABCD中，ABBDDA2，DC2，BC2，二面角ABDC的大小为135，则三棱锥ABCD外接球的表面积为（）A64B52C40D3211已知直线x2y+n0（n0）与双曲线1（a0，b0）的两条渐近线分别相交于A，B两点，点P的坐标为（n，0），若|PA|PB|，则该双曲线的离心率是（）ABCD12已知函数f（x）a2x2+x2l
4、na（a1），g（x）ex2lnx，若f（x）的图象与g（x）的图象在1，+）上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A（，+）B，+）C（，D（1，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知，是单位向量，且|+|，则向量与的夹角为 14已知sin（），则sin2 15已知点A（0，1）和B（m，2），点M（x，y）是函数y2x图象上的一个动点，若对于任意的点M（x，y），不等式（其中O是坐标原点）恒成立，则实数m 16已知矩形ABCD中，AB4，AD3，点E是边CD上的动点，将ADE沿AE折起至PAE，使得平面PAB平面ABC，过P作PGAB，垂足为G，则AG的取
5、值范围为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列an中，a11，a23，且满足（nN*）（）设bn（nN*），证明：bn是等差数列；（）若cn（nN*），求数列cn的前n项和Sn182017年国家发改委、住建部发布了生活垃圾分类制度实施方案，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上某市在实施垃圾分类之前，对该市大型社区（即人口数量在1万左右）一天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查已知该市这样的大型社区有200个，如图
6、是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区（）根据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值（精确到整数）；（）若当天该市这类大型社区的垃圾量XN（，9），其中近似为（）中的样本平均值，请根据X的分布估计这200个社区中“超标”社区的个数（四舍五入精确到整数）；（）市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，现从这些社区中随机抽取3个进行重点监控，设Y为其中当天垃圾量至少为16吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望附：P（X+）0.6827；P（2X+2）0.9545；P（3X+3）0.997419如图，在几何体ABC
7、DEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，CEDE，EFDB，DB2EF，平面CDE平面ABCD（）求证：平面BCF平面ABCD；（）若平面AEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为，求直线BE与平面ABCD成角的正弦值20已知椭圆C：1（ab0）的左、右顶点分别是点A，B，直线l：x与椭圆C相交于D，E两个不同点，直线DA与直线DB的斜率之积为，ABD的面积为（）求椭圆C的标准方程；（）若点P是直线l：x的一个动点（不在x轴上），直线AP与椭圆C的另一个交点为Q，过P作BQ的垂线，垂足为M，在x轴上是否存在定点N，使得|MN|为定值，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由
8、21已知函数f（x）+x，g（x）sinx+cosx（）当x时，求证：f（x）g（x）；（）若不等式f（x）+g（x）ax+2在0，+）上恒成立，求实数a的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为cos（）（）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（）已知点A在曲线C上，且点A到直线l的距离为，求点A的直角坐标选修4-5：不等式选
9、讲23已知函数f（x）|x+m2|+|2xm|（m0）（）当m1时，求不等式f（x）6的解集；（）若f（x）的最小值为，且a+bm（a0，b0），求证：+2参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z满足z（1+i）2i，则z的共轭复数等于（）A1+iB1iC1+iD1i解：由z（1+i）2i，得，则z的共轭复数1i故选：B2已知集合A（x，y）|yx2，B（x，y）|yx，则AB（）A0，1B（0，0），（1，1）C1D（1，1）解：联立A与B中的方程得：，消去y得：x2x，即x（x1）0，解得：x0或x1，把x0代
10、入得：y0；把x1代入得：y1，方程组的解为，则AB（0，0），（1，1），故选：B3已知斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数列（即a1a21，an+2an+1+an（nN*）的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等如图为该螺旋线的一部分，则第七项所对应的扇形的弧长为（）ABCD4解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r5+813，对应的弧长l213，故选
11、：C4在等差数列an中，a1+a222，a2+a42，则a5（）A3B4C5D7解：在等差数列an中，a1+a222，a2+a42，解得a13，d2，a5a1+4d3+85故选：C5从1，2，3，4，5这5个数中随机抽取2个数，分别记为m，n，则为整数的概率为（）ABCD解：从1，2，3，4，5这5个数中随机抽取2个数，分别记为m，n，基本事件（m，n）有20个，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3）
12、，（5，4），为整数包含的基本事件（m，n）有5个，分别为：（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），（5，1），则为整数的概率为P故选：B6已知点P（m，m）（m0）是抛物线y22px（p0）上一点，且点P到该抛物线焦点的距离为30，则p（）A10B12C20D30解：抛物线方程为y22px，抛物线焦点为F（，0），准线方程为x点P（m，m）（m0）是抛物线y22px（p0）上一点，m22pm，m2p，又点P（m，m）到其焦点的距离为30，p0，根据抛物线的定义，得m+30，p12，故选：B7已知函数yf（x）部分图象的大致形状如图所示，则yf（x）的解析式最可能是（）Af（x）Bf（
13、x）Cf（x）Df（x）解：根据题意，由函数yf（x）的图象，其定义域为x|x0，f（x）为奇函数，依次分析选项：对于A，f（x），有exex0，即x0，其定义域为x|x0，且f（x）f（x），函数f（x）为奇函数，符合题意，对于B，f（x），有exex0，即x0，其定义域为x|x0，有f（x）f（x），函数f（x）为偶函数，不符合题意，对于C，f（x），ex+ex0恒成立，其定义域为R，不符合题意，对于D，f（x），ex+ex0恒成立，其定义域为R，不符合题意，故选：A8已知圆M：（xa）2+（yb）23（a，bR）与圆O：x2+y21相交于A，B两点，且|AB|，给出以下结论：是定值；四边
14、形OAMB的面积是定值；a+b的最小值为；ab的最大值为2，则其中正确结论的个数是（）A0B1C2D3解：圆M的圆心M（a，b），半径r，则MAB为边长为的等边三角形，：|cos60，正确，：OAOB1，AB，OAB的高h，SABO，SMAB，S四边形OAMB+，正确，：由知 S四边形OAMBOMAB，OM2，即2，a2+b24，2（a2+b2）（a+b）2，（a+b）28，2a+b2，当且仅当ab时取等号，a+b的最小值为2，错误，：由得，a2+b242ab，ab2，当且仅当ab时取等号，ab的最大值为2，正确故选：D9在钝角ABC中，a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，点G是A
15、BC的重心，若AGBG，则cosC的取值范围是（）A（0，）B，）C（，1）D，1）解：如图所示：，连接CG，并延长交AB于D，由G是三角形的重心，得D是AB的中点，AGBG，DGABc，由重心的性质得CD3DG，即CDABc，由余弦定理得：AC2AD2+CD22ADCDcosADC，BC2BD2+CD22BDCDcosBDC，ADC+BDC，ADBD，AC2+BC2a2+b22AD2+2CD25c2，则cosC（+），AGDACD，BGDBCD，90AGBACB，ACB为锐角，ABC是钝角三角形，BAC或ABC为钝角，b2+c2a2或a2+c2b2，将a2+b25c2代入得：（，+）（，），
16、cosC1故选：C10已知三棱锥ABCD中，ABBDDA2，DC2，BC2，二面角ABDC的大小为135，则三棱锥ABCD外接球的表面积为（）A64B52C40D32解：由题意，ABBDDA2，DC2，BC2，可得ABD是等边三角形，BDC是直角三角形，将ABD沿BD折起后，点G是ABD的外心，其圆的半径r2；点F是BCD的外心，其圆的半径r；GEF是二面角ABDC的平面角，即GEF135，记该几何体ABCD的外接球球心为O，连接OF，OG，连接OE，由于ODEF四点共圆，GEF135，GE1，EFDC，在GEF中由余弦定理，可得GF，在GOF中，GOF45，OGOF，可得OF，外接球半径RO
17、B，外接球表面积S4R252；故选：B11已知直线x2y+n0（n0）与双曲线1（a0，b0）的两条渐近线分别相交于A，B两点，点P的坐标为（n，0），若|PA|PB|，则该双曲线的离心率是（）ABCD解：由题意，双曲线1（a0，b0）的两条渐近线方程为，联立，解得A（，），联立，解得B（，），AB的中点坐标为E（，），|PA|PB|，PE与直线x2y+n0垂直，即，整理得2a23b2，又b2c2a2，解得e故选：C12已知函数f（x）a2x2+x2lna（a1），g（x）ex2lnx，若f（x）的图象与g（x）的图象在1，+）上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A（，+）B，
18、+）C（，D（1，）解：g（x）关于x轴对称的解析式为yex+2lnx，f（x）的图像与g（x）的图像在1，+）上恰有两对关于x轴对称的点，a2x2+x2lnaex+2lnx在1，+）上有2个不相等的实根，a2x2+x2lnaex2lnx0，a2x2ln（a2x2）ex+x0，即ln（a2x2）ex+x0，即ln（a2x2）exx，令t（x）exx，x1，+），则t（x）ex10恒成立，t（x）exx在1，+）上单调递增，ln（a2x2）x，即a2x2ex，a2，故原问题等价于ya2与y在1，+）上有2个交点，由y，得y，当x2时，y0，当1x2时，y0，y在1，2）递增，在（2，+）递减，x
19、2时，函数y取得最小值，当x1时，ye，函数y在1，+）上的图象如图示：要使ya2和y在1，+）上有2个交点，只要a2e，a1，a，即实数a的取值范围是（，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知，是单位向量，且|+|，则向量与的夹角为60解：根据题意，设向量与的夹角为，是单位向量，且|+|，则（+）22+2+22+2cos3，变形可得cos，而0180，则60，故答案为：6014已知sin（），则sin2解：sin（）sin+cos，平方可得（1+2sincos）（1+sin2），sin2，故答案为：15已知点A（0，1）和B（m，2），点M（x，y）是函数y2x图象
20、上的一个动点，若对于任意的点M（x，y），不等式（其中O是坐标原点）恒成立，则实数m2ln2解：M在y2x上，M（x，2x），则mx2x+1，2，恒成立，mx2x+12恒成立，即mx+22x+1恒成立，画出f（x）2x+1的图象和直线ymx+2的图象，直线恒过点（0，2），由图象知，当且仅当直线ymx+2与f（x）2x+1相切，且切点为（0，2）时，不等式mx+22x+1才能恒成立，f（x）2x+1ln2，kf（0）2ln2，m2ln2故答案为：2ln216已知矩形ABCD中，AB4，AD3，点E是边CD上的动点，将ADE沿AE折起至PAE，使得平面PAB平面ABC，过P作PGAB，垂足为G，
21、则AG的取值范围为，3）解：设AGx，DEy，因为E为CD上的动点，平面PAB平面ABC，因为PGAB，PG平面PAB，AB为平面PAB与平面ABCE的交线，所以PG平面ABCD，所以PGAG，在PAG中，PA3，AGx，所以PG2PA2AG29x2，因为EG29+（yx）2，PEy，PGE中，PG2PE2EG2y29（yx）2，联立可得9x2y29（yx）2，即x，因为3y4，所以x3故AG的范围是，3）故答案为：，3）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知
22、数列an中，a11，a23，且满足（nN*）（）设bn（nN*），证明：bn是等差数列；（）若cn（nN*），求数列cn的前n项和Sn【解答】（）证明：依题意，由，两边同时乘以n（n+1），可得+，即bn+1bn+，bn+1bn，b1，数列bn是以为首项，为公差的等差数列（）由（）知，bn+（n1），nN*，整理，得an+13an，数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，an13n13n1，nN*，cn，则Snc1+c2+cn+（1+），Sn（+），可得Sn（1+）（）（3），Sn（9）182017年国家发改委、住建部发布了生活垃圾分类制度实施方案，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强
23、制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上某市在实施垃圾分类之前，对该市大型社区（即人口数量在1万左右）一天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查已知该市这样的大型社区有200个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区（）根据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值（精确到整数）；（）若当天该市这类大型社区的垃圾量XN（，9），其中近似为（）中的样本平均值，请根据X的分布估计这200个社区中“超标”社区的个数（四舍五入精确到整数）；（）市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，现从这些社区中随机抽取3个进行重点监
24、控，设Y为其中当天垃圾量至少为16吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望附：P（X+）0.6827；P（2X+2）0.9545；P（3X+3）0.9974解：（）由频率分布直方图得该样本中垃圾量为4，6），6，8），8，10），10，12），12，14），14，16），16，18的频率分别为0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08，所以50.08+70.1+90.2+110.24+130.18+150.12+170.0811.0411，所以当天这50个社区垃圾量的平均值为11吨（）由（）知11，因为29，所以3，所以P（X14）P（X+）0.15865，所以这200个社区
25、中“超标”社区的个数为2000.1586532（）由（）得样本中当天垃圾量为14，16）的社区由500.126个，垃圾量为16，18）的社区有500.084个，所以Y的可能取值为0，1，2，3，P（Y0），P（Y1），P（Y2），P（Y3），所以Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P 所以E（Y）0+1+2+319如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，CEDE，EFDB，DB2EF，平面CDE平面ABCD（）求证：平面BCF平面ABCD；（）若平面AEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为，求直线BE与平面ABCD成角的正弦值解：（）证明：设点G，H分别是C
26、D，CB的中点，连接EG，FH，GH，则GHDB，且DB2GH，EFGH，且EFGH，四边形EFHG是平行四边形，FHEG，CEDE，G是CD中点，EGCD，平面CDE平面ABCD，平面CDE平面ABCDCD，EG平面ABCD，FHEG，FH平面ABCD，FH平面BCF，平面BCF平面ABCD（）连接BG，由（）得EG平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的等边三角形，BGCD，BG，以G为坐标原点，向量，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得G（0，0，0），A（2，0），B（0，0），C（1，0，0），设E（0，0，t），（t0），则F（，t），设（x，y，
27、z）是平面AEF的一个法向量，则，取y1，得（，），设（a，b，c）是平面BCF的一个法向量，则，取b1，得（，1，0），|cos|，解得t3，GE3，直线BE与平面ABCD成角的正弦值为20已知椭圆C：1（ab0）的左、右顶点分别是点A，B，直线l：x与椭圆C相交于D，E两个不同点，直线DA与直线DB的斜率之积为，ABD的面积为（）求椭圆C的标准方程；（）若点P是直线l：x的一个动点（不在x轴上），直线AP与椭圆C的另一个交点为Q，过P作BQ的垂线，垂足为M，在x轴上是否存在定点N，使得|MN|为定值，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：（）设D（，y0），由题意得，椭圆C的方
28、程为（）假设存在这样的点N，设直线PM与x轴相交于点T（x0，0），由题意得TPBQ，设直线AP的方程为：xmy2，点Q（x1，y1），P（，t），由得：（m2+4）y24my0，或y10（舍去），Q（，），t，P（，）TPBQ，（x12）+ty10，x00，直线PM过定点T（0，0），取OB的中点N（1，0），由OMBM可知MOB为直角三角形，|MN|OB|1，存在定点N（1，0），使得|MN|121已知函数f（x）+x，g（x）sinx+cosx（）当x时，求证：f（x）g（x）；（）若不等式f（x）+g（x）ax+2在0，+）上恒成立，求实数a的取值范围【解答】（）证明：令h（x）f（x
29、）g（x）+xsinxcosx，x，（1）当x时，h（x）+1cosx+sinx，因为h（x）+sin（x+）0，所以h（x）在，）上单调递增，且h（0）0，当x0时，h（x）0，当0x时，h（x）0，所以h（x）在，0）上单调递减，在（0，）上单调递增，所以h（x）h（0）0，所以f（x）g（x）；（2）当x时，则h（x）+xsin（x+）+x+0，所以f（x）g（x）综上所述，当x时，f（x）g（x）（）解：令t（x）f（x）+g（x）ax2+x+sinx+cosxax2，x0，则t（x）+1+cosxsinxa，由题意得t（x）0在0，+）上恒成立，因为t（0）0，所以t（0）2a0，所
30、以a2，下证当a2时，t（x）0在0，+）上恒成立，因为t（x）+x+sinx+cosxax2+x+sinx+cosx2x2，令（x）x+sinx+cosx2，只需证明（x）0在0，+）上恒成立，（1）当0x时，（x）1+cosxsinx，（x）sin（x+），因为（x）在0，上单调递减，所以（x）（0）0，所以（x）在0，上单调递减，所以（x）（0）0，所以（x）在0，上单调递减，所以（x）（0）0；（2）当x时，（x）x+sin（x+）2x+2+20综上所述，实数a的取值范围是2，+）（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请用2B铅笔
31、在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为cos（）（）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（）已知点A在曲线C上，且点A到直线l的距离为，求点A的直角坐标解：（）曲线C的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为直线1的极坐标方程为cos（），根据，转换为直角坐标方程为xy10（）由于（）得：曲线C的参数方程为（为参数），利用点A（）到直线l的距离公式：d，整理得或2，所以，当cos时，A（），当cos时，A（）选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+m2|+|2xm|（m0）（）当m1时，求不等式f（x）6的解集；（）若f（x）的最小值为，且a+bm（a0，b0），求证：+2解：（）当m1时，原不等式为|x+1|+|2x1|6，即或或，解得2x1或或，原不等式的解集为2，2；（）证明：由题意可得，m1或（舍去），a+b1，令，当时，取等号