1、2014-2015学年山西省太原市山大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1（4分）设全集U=xN+|x6，集合A=1，3，B=3，5，则U（AB）=（）A1，4B1，5C2，4D2，52（4分）函数f（x）=+lg（x+2）的定义域为（）A（2，1）B（2，1C2，1）D2，13（4分）已知a0且a1，下列四组函数中表示相等函数的是（）Ay=logax与y=（logxa）1By=2x与y=logaa2xC与y=xDy=logax2与y=2logax4（4分）已知函数，若f（a）=b，则f（a）=（）AbBbCD5（4分）下列函数中值域为（0，+）的是
2、（）ABCD6（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）ABC2D27（4分）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x3的零点所在的区间为（）A（，0）B（0，）C（，）D（，）8（4分）三个数0.993.3，log3，log20.8的大小关系为（）Alog30.993.3log20.8Blog20.8log30.993.3C0.993.3log20.8 log3Dlog20.80.993.3log39（4分）当x（1，2）时，不等式（x1）2logax恒成立，则实数a的取值范围为（）A（2，3B4，+）C（1，2D2，4）10（4分）若函数f（x）为定义在R
3、上的奇函数，且在（0，+）为增函数，又f（2）=0，则不等式ln（）xf（x）0的解集为（）A（2，0）（2，+）B（，2）（0，2）C（2，0）（0，2）D（，2）（2，+）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11（4分）函数f（x）=loga（x+1）+2，（a0且a1）必过定点12（4分）则f（f（2）的值为13（4分）已知函数f（x）=e|x|+|x|，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是14（4分）已知函数f（x）满足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=2，则：+=15（4分）给出下列四个命题：函数y=为奇函数；奇函数的图象一定通过
4、直角坐标系的原点；函数y=2的值域是（0，+）；若函数f（2x）的定义域为1，2，则函数f（2x）的定义域为1，2；函数y=lg（x2+2x）的单调递增区间是（0，1其中正确命题的序号是（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16（8分）计算：（）；（）lg8+e2ln217（8分）已知集合A=x|x22ax8a20（）当a=1时，求集合RA；（）若a0，且（1，1）A，求实数a的取值范围18（8分）已知二次函数f（x）=x2+2axa在区间0，1上有最大值2，求实数a的值19（8分）已知函数f（x）=是定义在（1，1）上的函
5、数（）用定义法证明函数f（x）在（1，1）上是增函数；（）解不等式f（x1）+f（x）020（8分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a2xa），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围2014-2015学年山西省太原市山大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1（4分）设全集U=xN+|x6，集合A=1，3，B=3，5，则U（AB）=（）A1，4B1，5C2，4D2，5考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：由全集U=xN+|x6
6、，可得U=1，2，3，4，5，然后根据集合混合运算的法则即可求解解答：解：A=1，3，B=3，5，AB=1，3，5，U=xN+|x6=1，2，3，4，5，U（AB）=2，4，故选C点评：本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算2（4分）函数f（x）=+lg（x+2）的定义域为（）A（2，1）B（2，1C2，1）D2，1考点：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域 专题：计算题分析：根据题意可得，解不等式可得定义域解答：解：根据题意可得解得2x1所以函数的定义域为（2，1故选B点评：本题考查了求函数的定义域的最基本的类型分式型：分母不为0对数函数：真数大于0，求函数定义域的关键是根据
7、条件寻求函数有意义的条件，建立不等式（组），进而解不等式（组）3（4分）已知a0且a1，下列四组函数中表示相等函数的是（）Ay=logax与y=（logxa）1By=2x与y=logaa2xC与y=xDy=logax2与y=2logax考点：判断两个函数是否为同一函数 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意，判断函数的定义域与对应关系是否相同即可解答：解：A：y=logax的定义域为（0，+），y=（logxa）1的定义域为（0，1）（1，+）；故不相等；B：y=2x的定义域为R，y=logaa2x=2x的定义域为R；故相等；C：的定义域为（0，+），y=x的定义域为R；故不相等；D：y=
8、2logax的定义域为（0，+），y=logax2的定义域为（，0）（0，+）；故不相等故选B点评：本题考查了函数相等的判断，属于基础题4（4分）已知函数，若f（a）=b，则f（a）=（）AbBbCD考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据函数f（x）的表达式，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可解答：解：函数，f（x）=，函数f（x）为奇函数，f（a）=f（a）=b，故选：B点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数特点，判断函数是奇函数是解决本题的关键5（4分）下列函数中值域为（0，+）的是（）ABCD考点：函数的值域 专题：函数的性质及应用分析：根据x的范围、利用基本函
9、数的性质、基本不等式，求出每个函数的值域，从而得出结论解答：解：0，y=1，y= 的值域不是（0，+），故排除Ax0时，y=x+2，故y=x+（x0）的值域为2，+），不是（0，+），故排除B1xR，y=0，故此函数的值域为（0，+），满足条件y=x在1，+）上是增函数，故它的最小值为11=0，故函数的值域为0，+），不满足条件，故选C点评：本题主要考查求函数的值域，属于基础题6（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）ABC2D2考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 专题：计算题；函数的性质及应用分析：用待定系数法求出幂函数的解析式，计算log4f（2）的
10、值解答：解：设幂函数y=f（x）=x，图象过点（3，），3=，=，f（x）=（x0）；log4f（2）=log4=log42=；故选：A点评：本题考查了用待定系数法求出函数的解析式以及利用函数解析式求值的问题，是基础题7（4分）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x3的零点所在的区间为（）A（，0）B（0，）C（，）D（，）考点：函数零点的判定定理 专题：计算题分析：分别计算出f（0）、f（1）、f（）、f（）的值，判断它们的正负，再结合函数零点存在性定理，可以得出答案解答：解：f（0）=e03=20 f（1）=e1+430根所在的区间x0（0，1）排除A选项又根所在的区间x0（0，），排除D
11、选项最后计算出，得出选项C符合；故选C点评：e=2.71828是一个无理数，本题计算中要用到等的值，对计算有一定的要求8（4分）三个数0.993.3，log3，log20.8的大小关系为（）Alog30.993.3log20.8Blog20.8log30.993.3C0.993.3log20.8 log3Dlog20.80.993.3log3考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用对数函数、指数函数的单调性即可得出解答：解：00.993.31，log31，log20.80，log20.80.993.3log3故选：D点评：本题考查了对数函数、指数函数的单调性，属于基础题9（4分
12、）当x（1，2）时，不等式（x1）2logax恒成立，则实数a的取值范围为（）A（2，3B4，+）C（1，2D2，4）考点：函数恒成立问题 专题：计算题分析：根据二次函数和对数函数的图象和性质，由已知中当x（1，2）时，不等式（x1）2logax恒成立，则y=logax必为增函数，且当x=2时的函数值不小于1，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案解答：解：函数y=（x1）2在区间（1，2）上单调递增，当x（1，2）时，y=（x1）2（0，1），若不等式（x1）2logax恒成立，则a1且1loga2即a（1，2，故选C点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据二次函数和
13、对数函数的图象和性质，结合已知条件构造关于a的不等式，是解答本题的关键10（4分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+）为增函数，又f（2）=0，则不等式ln（）xf（x）0的解集为（）A（2，0）（2，+）B（，2）（0，2）C（2，0）（0，2）D（，2）（2，+）考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：由函数的奇偶性和单调性得到f（x）在（，0）上也是增函数，由不等式ln（）xf（x）0得到xf（x）0分类后可得不等式的解集解答：解：奇函数的图象关于原点对称，且f（x）在（0，+）为增函数，则f（x）在（，0）上也是增函数，又f（2）=0，
14、f（2）=0不等式ln（）xf（x）0同解于xf（x）0当x0时，有f（x）0，得x2；当x9时，有f（x）0，得x2不等式ln（）xf（x）0的解集为（，2）（2，+）故选：D点评：本题考查了函数奇偶性和单调性的性质，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11（4分）函数f（x）=loga（x+1）+2，（a0且a1）必过定点（0，2）考点：对数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：先通过所学知识推断出f（x）=logax恒过的点，进而根据图象平移的法则求得答案解答：解：函数f（x）=logax恒过（1，0）点，而
15、函数f（x）=loga（x+1）+2，是由函数f（x）=logax向左平移一个单位后，又向上平移2个单位，故函数f（x）=loga（x+1）+2横过（0，2）点故答案为：（0，2）点评：本题主要考查了对数函数的图象与性质解此题，采用数形结合的思想较好12（4分）则f（f（2）的值为2考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值 专题：计算题分析：本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解本题应先求内层的f（2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值解答：解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（221）=12，故
16、有f（1）=2e11=2，即f（f（2）=f（1）=2e11=2，故答案为 2点评：本题的考点分段函数，考查复合函数求值，由于对应法则是分段型的，故求解时应根据自变量的范围选择合适的解析式，此是分段函数求值的特点13（4分）已知函数f（x）=e|x|+|x|，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（1，+）考点：函数的零点与方程根的关系 专题：数形结合；函数的性质及应用分析：根据函数f（x）=e|x|+|x|的图象可判断y=k，与f（x）的图象的有两个不同的交点，满足的条件解答：解：函数f（x）=e|x|+|x|，作图如下：关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，y
17、=k，与f（x）的图象的有两个不同的交点，k1，故答案为：（1，+）点评：本题考查了运用函数的图象解决方程的根的问题，属于中档题，关键是画图象14（4分）已知函数f（x）满足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=2，则：+=2014考点：抽象函数及其应用 专题：函数的性质及应用分析：根据f（p+q）=f（p）f（q），令q=1，则有=f（1）=2，然后依次算出所求的项，即可求出结果解答：解：函数f（x）满足f（p+q）=f（p）f（q），令q=1，则f（p+1）=f（p）f（1），=f（1），又f（1）=2，=2，+=2+2+2=21007=2014，：+=2014故答案为：2014点评
18、：本题考查了抽象函数及其应用解题的关键是进行合理的赋值，利用赋值求解抽象函数的函数值考查了根据抽象函数的性质进行灵活变形，合理转化证明的能力，本题对灵活转化的能力要求较高属于中档题15（4分）给出下列四个命题：函数y=为奇函数；奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；函数y=2的值域是（0，+）；若函数f（2x）的定义域为1，2，则函数f（2x）的定义域为1，2；函数y=lg（x2+2x）的单调递增区间是（0，1其中正确命题的序号是（填上所有正确命题的序号）考点：命题的真假判断与应用 专题：阅读型；函数的性质及应用分析：通过函数的定义域化简，得到y=，再由奇偶性的定义，即可判断；比如奇函数y=的
19、图象，即可判断；由定义域和指数函数的值域，即可判断；函数的定义域的定义：自变量x的取值集合，即可判断；运用复合函数的单调性：同增异减，注意函数的定义域解答：解：函数首先必须满足1x20，即1x1，1x+23，则函数化简为y=，定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，且f（x）=f（x），即函数为奇函数，故对；比如奇函数y=的图象不过原点，故错；由于x0，则y1，函数y=2的值域是（0，1）（1，+）故错；若函数f（2x）的定义域为1，2，则f（x）的定义域为2，4，令22x4，1x2，则函数f（2x）的定义域为1，2，故对；令z=2xx2（0x2），则y=lgz，当x（0，1时，函数z增，同时
20、y也是增，故对故答案为：点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性、单调性及运用，以及抽象函数的定义域问题，是一道易错题三、解答题（本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16（8分）计算：（）；（）lg8+e2ln2考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值 专题：函数的性质及应用分析：根据对数的运算法则计算即可解答：解：（）=+100100=+=；（）lg8+e2ln2=lg（）+4=1+4=点评：本题考查了对数的运算法则，培养了学生的计算能力和转化能力，属于基础题17（8分）已知集合A=x|x22ax8a20（）当a=1时，求集合RA；（）若a0，且
21、（1，1）A，求实数a的取值范围考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用 专题：不等式的解法及应用分析：（）直接把a=1代入x22ax8a20，然后求解一元二次不等式化简A，由补集概念得答案；（）求解不等式x22ax8a20化简A，然后由（1，1）A结合两集合端点值间的关系列不等式组得答案解答：解：（）当a=1时，x22ax8a20化为x22x80，解得：2x4A=x|2x4RA=x|x2或x4；（）由|x22ax8a20，且a0，得2ax4aA=x|2ax4a由（1，1）A，得，解得a实数a的取值范围是点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合包含关系的判断与应用，是基础题
22、18（8分）已知二次函数f（x）=x2+2axa在区间0，1上有最大值2，求实数a的值考点：二次函数在闭区间上的最值 专题：函数的性质及应用分析：由题意得，函数f（x）的对称轴为：x=a，再分对称轴在区间的左侧、右侧、中间三种情况，分别根据函数在区间0，1上有最大值2，求出实数a的值解答：解：由f（x）=（xa）2+a2a，得函数f（x）的对称轴为：x=a， 当a0时，f（x）在0，1上递减，根据函数在区间0，1上有最大值2，可得f（0）=2，即a=2，a=2当a1时，f（x）在0，1上递增，根据函数在区间0，1上有最大值2，可得f（1）=2，即a=3当0a1时，f（x）在0，a递增，在a，1
23、上递减，f（a）=2，即a2a=2，解得：a=2或1，这与0a1矛盾综上，a=2或a=3点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题19（8分）已知函数f（x）=是定义在（1，1）上的函数（）用定义法证明函数f（x）在（1，1）上是增函数；（）解不等式f（x1）+f（x）0考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：（）直接利用用定义法证明函数f（x）在（1，1）上是增函数；（）不等式f（x1）+f（x）0转化为f（x1）f（x）利用函数的单调性列出不等式组求解即可解答：（本小题满分8分）解：（）证明：对
24、于任意的x1，x2（1，1），且x1x2，则=1x1x21，x1x21，1x1x20f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）函数在（1，1）上是增函数（4分）（）由已知及（）知，f（x）是奇函数且在（1，1）上递增，f（x1）+f（x）0，f（x1）f（x），f（x1）f（x）不等式的解集为（8分）点评：本题考查函数的单调性的应用，单调性的证明，是基本知识的考查20（8分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a2xa），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围考点：函数的图象 专题：函数的性质
25、及应用分析：（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值；（2）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论解答：解（1）函数f（x）=log4（4x+1）+kx（kR）是偶函数f（x）=log4（4x+1）kx）=log4（）kx=log4（4x+1）+kx（kR）恒成立（k+1）=k，则k=（2）g（x）=log4（a2xa），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程f（x）=g（x）只有一个解由已知得log4（4x+1）x=log4（a2xa），log4（）=log4（a2xa），方程等价于，设2x=t，t0，则（a1）t21=0有一解若a10，设h（t）=（a1）t21，h（0）=10，恰好有一正解a1满足题意若a1=0，即a=1时，不满足题意若a10，即a1时，由，得a=3或a=，当a=3时，t=满足题意当a=时，t=2（舍去）综上所述实数a的取值范围是a|a1或a=3点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强