1、本章总结集合的关系主要有包含与真包含关系，它们与函数问题、解不等式都密切相关，特别是在已知AB的情况下，不要忘记A的情况集合的关系与集合的运算关系密切，如，ABA，则AB；ABA，则BA.集合的运算有交()、并()、补(UA)这三种常见的运算，它是本章核心内容之一在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析法(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一在具体应用时要注意端点值是否适合题意，以免增解或漏解例1已知Ax|x27x120，Bx|ax20，且ABA，求实数a组成的集合C.解由x27x120，得x3或x4，A3
2、,4ABA，BA.当B时，a0，此时方程ax20无解当a0时，满足BA.当B时，Bx|ax203,4A.3或4，a或a.综上，实数a0或a或a，集合C.点评在解决集合问题时，首先需要考虑已知条件的转化，如本题中“ABA”需要转化为“BA”，而在考虑BA的情况中，B时常会被忽略，所以在本题的求解过程中渗透了转化与化归的思想和分类讨论的思想函数的概念主要是对函数三要素：定义域、值域、对应关系的考查，其中定义域是研究任何函数问题的前提条件，而求函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点例2已知a，b为常数，且a0，f(x)ax2bx，f(2)0，方程f(x)x有两个相等的实数根(1)求函数f(
3、x)的解析式；(2)当x1,2时，求f(x)的值域分析(1)用待定系数法求解；(2)借助于二次函数的图象，利用函数的单调性求解解(1)由f(2)4a2b0，得2ab0，f(x)x，即ax2bxx，即ax2(b1)x0(a0)有两个相等的实数根b10，b1.将其代入得a，f(x)x2x.(2)由(1)知f(x)(x1)2，显然f(x)在1,2上是减函数当x1时，f(x)max，当x2时，f(x)min0，故当x1,2时，函数的值域是.函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出函数图象广泛
4、应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题例3(1)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()(2)已知定义在R上的奇函数f(x)在x0时的图象如图所示，则f(x)0的解为_解析(1)A项，由图象开口向下知a0，由对称轴位置知0，所以b0，所以c0.而由题图知f(0)c0，A错；B项，由题图知a0，故b0.又因为abc0，所以c0，B错；选项C、D中，开口向上，故a0，f(0)c0知b0，故C错D正确故选D.(2)由于f(x)为R上的奇函数，图象关于原点对称，因此可作出函数在(，0)上的图象如图所示由图可
5、知f(x)0时，f(x)1.(1)求证：yf(x)1为奇函数；(2)求证：f(x)是R上的增函数；(3)若f(4)5，解不等式f(3m2)3.解(1)证明：因为定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2R，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)1成立所以令x1x20，则f(00)f(0)f(0)1.即f(0)1.令x1x，x2x，则f(xx)f(x)f(x)1.所以f(x)1f(x)10，故yf(x)1为奇函数(2)证明：由(1)知yf(x)1为奇函数，所以f(x)1f(x)1任取x1，x2R，且x10.所以f(x2x1)f(x2)f(x1)1f(x2)f(x1)1f(x2)f(x1)1.因为当
6、x0时，f(x)1.所以f(x2x1)f(x2)f(x1)11，即f(x1)f(x2)，故f(x)是R上的增函数(3)因为f(x1x2)f(x1)f(x2)1，且f(4)5，所以f(4)f(2)f(2)15，即f(2)3，由不等式f(3m2)3，得f(3m2)f(2)由(2)知f(x)是R上的增函数，所以3m22，即3m40，即m.故不等式f(3m2)3的解集为.点评解决函数的单调性与奇偶性时的三点注意：(1)要证明函数f(x)在区间D上不是单调函数，只要举一反例即可，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可(2)为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)(3)如果f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)，如果f(x)是奇函数，那么f(0)0(原点有定义)，解题时常用